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相交两圆训练题3-2020伊朗第三轮G2
停更了两天了, 额不是刻意停更, 题目其实都一直在做, 只不过是因为学校的破事太多, 天天搞的忙的不行, 最后还不知道在忙什么...真不如踏踏实实做会题.
因为搬教室的原因, 大部分书籍都没带过来, 因此这两天直接做伊朗MO的题目, 搞了一个蛮好的给大家分享一下.
(感谢催更, 唤醒了我的良心...)
题目标签: 共线类- 等角线+相切-2020伊朗G2
知识储备: 无特殊要求
先放题目:
△ABC外接圆为, 边BC上有两点D, E满足∠BAD=∠CAE, 圆与AD切于点A且圆心在上, A关于BC的对称点为A', A'E与交于K, L. 证明BL与CK的交点或BK与CL的交点在圆上.
现在剖析一下该题:
首先问题让人感觉很不舒服, 因此考虑重新构图:
(肯定能猜出来让求的交点就是两圆另外的那个交点吧~)
设交于点M, BM与交于L, CM与交于K, 下面证明L, K, E, A'四点共线.
证明, .
设, 分别与交于点, ,
则根据
得, 关于对称,
即, ,
同理,
证明, , 三点共线
对与用验证:
是否为1.
得
前面已知,
三式带入证得三点共线.
证明也在直线上
注意到
故四点共圆,
因此
故也在上, 证毕!
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