密克点训练题2-IN神提供
认真修炼几何大法
今天给大家的题目, 是前天IN神给我的, 最近跟IN神耍的很愉快, 除了正常的工作以外做题做的蛮愉快的...
题目标签: 边等类-密克点+对称-IN神供(非原创题目)
知识储备: 三角形的密克点+开世圆幂定理(不用也行)
先放题目:
△ABC中, O为任一点, UVW分别是O在三边上的投影, X, Y, Z分别是三边上的点, X', Y', Z'分别是X, Y, Z关于U, V, W的对称点. D, E分别是XYZ与X'Y'Z'的密克点. 求证:OD=OE.
这个题目我是没有做完的, 到最后有一步实在没想出来..顺便还探究了个没证出来的命题, 有兴趣的看完可以翻到最后瞅瞅有没有思路证明.
先放上IN神的做法, 想看思路分析的请留心到后面开世圆幂定理.
证明:(IN神, 作者整理版)
设(AZ'Y')与(AYZ)交于另一点P,
证明共圆且为直径.
注意到且为对应点.
因此
结合四点共圆得, 五点共圆.
延长与过的三个圆分别交于, , , 证明.
注意到
故由相似对应关系为中点,
结合, 故.
证明最终结论
前面证明对同理, 连接与交于,
则同理得.
结合
故共圆, 又为圆心
故.
开世圆幂定理:
到两圆圆幂比值为定值的点的集合为与两圆共轴的另一个圆.
证明用坐标写一下即可, 只需说明满足
的是圆的方程即可;
具体到本题有什么应用呢? 找个做题思路还是不错的.
再观察一下原图我讲一下我的构思过程:
因为拿到这个题目的时候有点无从下手, 奇怪的地方很多, 我是从开始的.
注意到,
即
故根据开世圆幂定理知都在到两圆圆幂比值为的圆上,
也就得到了共圆.
并且也容易观察到下图中延长后,为中点.
所以多知道一点点可能不能直接用来做题, 但是找找思路还是蛮好的.
(强掰...)
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