北师大版八上数学5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 知识精讲
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知识点总结
图解解题方法
图解典型难题
图解思路
规范解答
由①＋②＋③得(m＋2)(x＋y＋z)＝3(m＋2).
当m＋2＝0，即m＝－2时，0·(x＋y＋g)＝3·0，此时方程组的解不能唯一确定；
当m≠－2时，得到x＋y＋z＝3.④
由①－④得(m－1)x＝m－2，
由②－④得(m－1)y＝m－1，
由③－④得(m－1)z＝m.
当m≠1时，方程组的解为
综上所述，当m＝－2时，方程组的解不唯一确定.
当m＝1时，方程组无解.
当m≠－1且m≠－2时，方程组的解为
解后反思
解含有字母系数的方程组同解含有字母系数的方程一样，在字母两边同时乘以或除以字需要弄清字母的取值范围，进行分类讨论.
触类旁通
1.已知方程组
2.已知关于x、y的二元一次方程组
3.已知关于x、y的方程组
5.3 一次方程组的应用
图解思路
规范解答
设甲袋原来有水果xkg，乙袋原来有水果ykg.
由题意，列方程组
解得
因此，x＋y＝48＋36＝84.
答：这堆水果原来共有84kg
解后反思
列方程组解决实际问题，设几个未知数就应当相应地找几个相等关系，与一次方程的应用类似，此类问题的关键仍然是找准等量关系，根据等量关系列方程组解决应用问题.
本题设甲袋原来有水果x千克，乙袋原来有水果y千克，因为设两个未知数，故需要两个等量关系
(1)甲袋中取走
(2)乙袋取走12kg后余下的一半＝乙袋原来的
图解思路
规范解答
如图，设甲班学生从学校A乘汽车出发至E处下车步行，甲班学生乘车行了akm，空车返回至C处，乙班同学于C处上车，此时乙班学生已步行了bkm.
根据题意列方程组，可得
解得
答：他们至少需要
解后反思
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题口给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解，本题根据题意可画出草图，可以较快，较清晰地列出所需等量关系.
根据题意可让甲班学生从学校A出发乘车akm至某处下车步行，再让车空车返回至某处，乙班同学在此处上车，此处距离学校bkm，
根据相等关系1：车接到乙班同学的时间(车送甲班至E处，再开回到C处与乙班相遇)＝乙班同学步行的时间：相等关系2：甲班步行时间车接乙班返回的时间＋乙班坐车到达B的时间，列出两个方程，求方程组的解即可，最后根据时间＝路程/速度的关系式，即可得他们至少需要多长时间才能到达.
触类旁通
1.小明的妈妈在菜市场买回3千克萝卜、2千克排骨，准备做萝卜排骨汤，妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同质量的这两样菜只要36元”爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”请你通过列方程(组)求解这天萝卜，排骨的单价(单位；元/千克).
2. 甲种矿石含铁54%，乙种矿石含铁36%，将两种矿石若于吨进行混合得到含铁48%的矿石，如果混合时甲种矿石比原来少取121，乙种矿石比原来多取10t，那么混合后的矿石含铁45%，则原来混合时，两种矿石各取多少吨?
3.某火车站在检票前若干分钟就开始排队，排队人数按一定的速度增加，如果开放一个检票口，则要40min检票口前的队伍才能消失，如果同时开放两个检票口，则16min队伍就消失了，设检票的速度是一定的，如果同时开放三个检票口，要多长时问检票口前的队伍才会消失.
4.有一片牧场，草每天都在匀速生长(草每天增长量相等).如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草，设每头牛吃草量是相等的，如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草.
5.某人乘汽车，他看到第一块里程碑上写看一个两位数(单位：km)；经过1h，他看到第二块程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1h，他看到第三块里程碑上写看一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则汽车的速度是多少？
图文导学
教学设计
里程碑上的数
●教学目标
(一)教学知识点
1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题．
2．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
(二)能力训练要求
1．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型．
2．初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤．
(三)情感与价值观要求
1．“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关．相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气．
2．鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
●教学重点
1．用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题．
2．初步体会列方程组解决实际问题的步骤．
●教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型．
●教学方法引导——讨论——发现法． “里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解．同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法． ●教具准备投影片两张：第一张：问题串(记作§7．5 A)；第一张：例1(记作§7．5 B)．
●教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课出示投影片(§7．5 A)
［问题1］
(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________．
(2)有两个两位数x和y，如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________．
(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________．
［师生共析］
(1)个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10，所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b．
(2)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1．因此用x、y表示这个四位数为100x+y．同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x．
(3)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数．因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m．［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题．
Ⅱ．讲援新课［师］翻开课本P203，我们来研究“里程碑上的数”．同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容．
［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶．小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0．试确定小明12∶00时看到里程碑上的数．
［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关，同时，相对而言又有一定的难度．但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的，要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字．我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？
［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x;14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y．
［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系．
［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7．
［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的．说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等．现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程．
［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x)．因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x)．
［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解． (由两位同学黑板上板演) 解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x，个位数字是y，根据题意，得方程组 化简，得把②代入①，得x=1 把x=1代入②，得y=6 所以，这个方程组的解为因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16．
［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题．出示投影片(§7．5 B)
［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数． 分析：
(1)本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178．
(2)设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x．
解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，则 化简，得 即解该方程组，得 所以这两个两位数分别是45和23．
Ⅲ．随堂练习课本P202．
1． 解：设十位数字是x，个位数字是y，则有方程组解得所以，这个两位数是56．
Ⅳ．课时小结
［议一议］
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？(引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．不一定要明晰一个十分具体的步骤．只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化)
［师生共同分析］列二元一次方程组解应用题的主要步骤：
(1)弄清题意和题目中的等量关系．用字母表示题目中的两个未知数．
(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系．
(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组．
(4)解这个方程组并求出未知数的值．
(5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?
(6)写出符合题意的解释．
Ⅴ．课后作业
1．课本P202、习题7．6．
2．复习一次函数的图象，预习下一节《二元一次方程与一次函数》．
Ⅵ．活动与探究北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示．现在有一种调运方案的总运费为7600元．问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆．由每台运费的表格可知：北京—→武汉 费用需4x百元．北京—→重庆 费用需8y百元．上海—→武汉 费用需3(6－x)百元．上海—→重庆 费用需5(8－y)百元．合计7600元即76百元．结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得 化简得解得所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台．
●板书设计
里程碑上的数一、里程碑上的数 (1)相等关系：12∶00~13∶00摩托车行驶的路程=13∶00~14∶00摩托车行驶的路程；12∶00时小明看到的十位上的数字+个位上的数字=7． (2)学生板演解答过程．二、例题讲解例：(医院为病人配制营养品) 三、随堂练习 (学生板演) 四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．
●备课资料 一、参考例题［例1］某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现在要在63天的生产中，使所生产的三种零件全部配套，这个车间应该对这三种零件的生产各用几天才能使生产出来的零件配套？分析：本题是三元一次方程组的应用，如果设三种零件分别用x天、y天、z天，第一个相等关系即生产三种零件的总天数为63天很明显．关键是第二个相等关系，因为题目中给出“三种零件各一个可以配成一套”，说明三种零件总数是相等的．所以求出甲、乙、丙三种零件总数列出联等式即可．解：设三种零件分别用x天、y天、z天，根据题意，得 由②得y=2x，z=x，把y=2x，z=x代入①，得 x+2x+x=63 x=15 把x=15代入y=2x=2×15=30 z=x=×15=18 所以三种零件分别用了15天、30天、18天．评述：此题在解方程组时，会有困难．可由600x=300y得到y=2x，再由600x=500z得到z=x，再将它们代入x+y+z=63即可．这是解此类方程组较简便的方法．［例2］甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走20千米，那么甲用1小时能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度．分析：这是行程问题中的追及问题，题中有两个未知数——甲、乙二人的速度，有两个相等关系． (1)甲1小时所走的路程=乙1小时走的路程+20千米；(2)甲小时所走的路程=乙(1+)小时所走的路程．解：设甲、乙二人的速度分别为x千米/时、y千米/时，得化简方程组，得解得评述：对于追及问题，可通过直线图来找相等关系．
二、参考练习 1．小强和小红做算术题，小强将第一个加数后面多写一个零，所得的和为2342，小红将第一个数后面少写一个零，所得的和是65．求原来的两个加数．解：设第一个加数为x，第二个加数为y，可列方程组 解得所以原来的两个加数为230、42． 2．A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？解：设甲、乙速度分别为x千米/时，y千米/时，可列方程组 解得所以甲、乙速度分别为4千米/时，5千米/时．
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