网络首发丨磁单极狄拉克弦上磁场的显明形式

磁单极的存在(更严格地说是存在至少一种粒子其磁荷与电荷之比与其他粒子不同)导致的一个重要结论是电荷的量子化。仅这一点就足以令理论工作者着迷。磁单极从理论上提出^[1]至今已经接近一个世纪，但一直未能在实验上观察到。尽管如此，由于理论上的魅力，它还是受到了持续而广泛的关注。

磁单极的磁场B 类似于点电荷的电场，形式很简单。但是，为了将其纳入量子力学，人们必须找到一个矢量势A来描述它。另一方面，A的存在性是以方程为基础的。既然有了磁单极，后者便不再成立，于是A的存在性就有了疑问。如果一定要用A来描述，那么就难以避免A会具有某种奇性，狄拉克磁单极描述方案就是这样。或者，人们需要用两幅图(chart)构成的图册(atlas)来覆盖三维空间，然后在不同的图上采用不同的矢量势，在重叠区域，它们相差一个规范变换，这是吴大峻-杨振宁磁单极描述方案^[2]。

具体来说，狄拉克的矢量势对应的磁场除了磁单极应有的平方反比场，还多了一条磁通弦(通俗地说就是一条磁力线)，称为狄拉克弦。它从磁单极所在之处沿任意曲线通向无穷远处，其磁通量抵消了磁单极平方反比场的磁通量，使得任一闭合曲面的磁通量仍然为零。只有当磁通弦没有物理效应(至少对于所考虑的问题)时，这样的矢量势才是对磁单极的恰当描述。讨论磁通弦是否有或对于哪些问题有物理效应，超出了作者的学识，也远远超出这篇小文的范围。前述关于磁通弦的性质在文献上一般只有文字描述，这些性质可以通过考察矢量势的环路积分而得出。但是对矢量势微分(取旋度)并不能自然得出与磁通弦对应的磁场项。当然人们可以利用前述性质手动构造并写下该磁场项，但是这难免有斧凿之嫌。本文将矢量势写成积分形式，然后通过微分运算自然得出包含磁通弦项显明形式的结果。上述矢量势的积分形式在文献上并不陌生^[3,4]，文献[3]也作了微分运算，但是没有得出磁通弦项的显明形式。对于具有不同狄拉克弦的矢量势之间的规范变换，我们作了一些评述，并指出过去论证电荷量子化的一种方法存在漏洞。最后简单介绍了吴大峻-杨振宁磁单极描述方案，并简述该方案中电荷量子化的论证思路(吴-杨原文^[2]对此论证并无详细说明)。希望本文对于电动力学的初学者有所帮助，对于教师也有一些参考价值。

1 狄拉克弦上磁场的显明形式

设磁单极的磁荷为g，位于坐标原点，狄拉克矢量势为

(1)

本文同时采用直角坐标和球坐标，在后面一个实例计算中也采用柱坐标，所用符号都是熟知的，等是单位矢量。对上式取旋度，只能得出磁单极磁场

(2)

而得不到实际存在的磁通弦项。实际上，A(r)在θ=π处有奇性，微分运算在这些地方是有疑问的，可能把某些东西弄丢了。这类似于在球坐标中计算，并不能直接得出δ函数。上式的一个显然的推广是

(3)

其中e是任意给定的单位矢量。对上式取旋度，得到的同样是。

现在我们把式(3)改写成下述积分形式

(4)

考虑沿e方向的直线从无穷远至原点的极细螺线管，有助于找到这个积分表示^[3,4]。然而，在数学上，这不是必须的。我们只需要证明上式的积分结果是式(3)即可。为此，令u=-s，将上式化为

(5)

分解，两部分互相正交，由此易得

(6)

于是

(7)

利用积分公式

(8)

完成上式的积分，结果就是式(3)。这就证明了式(4)是式(3)的积分表示。

式(4)可以改写为

(9)

一个值得注意的细节是不能把微分算符与积分交换次序。由于去掉微分算符以后的积分是发散的，所以交换次序在数学上是非法的。现在对上式求旋度，由于上式的积分收敛，所以可以把求旋度与积分交换次序。虽然被积函数有奇性，并不满足数学上交换次序的(比收敛)更苛刻的条件，但是下面计算中出现的δ函数是对奇性的恰当处理，所以这一操作是可以接受的。利用矢量分析公式，可得

(10)

对于上式第一项，可以把算符交换到积分外面，然后利用，立知第一项给出的正是；对于第二项，可以利用熟知的公式。最终得到

(11)

其中

(12)

就是磁通弦项的显明形式。如果e=e_z，则很容易求出积分，而得

(13)

其中θ(-z)是亥维赛(Heaviside)阶跃函数，这是沿z轴负半轴由原点伸展至无穷远的磁通弦，磁场沿z方向，磁通量为g。值得指出，如果我们先计算半径为a的半无界圆柱螺线管的磁场，然后令a→0(同时让I →∞以保持固定，其中I 是单位长度的电流)，得到的磁场正是上述结果，而磁通弦对应于螺线管内的磁场。详细讨论需要较多篇幅，从略。

下面进一步推广式(4)。考虑一条空间曲线L，它由定点r₀伸展至无穷远，其参数方程为

(14a)

满足

(14b)

我们选取参数s使得ds=|dr(s)|，那么切矢量

(15)

是单位矢量，指向参数增加的方向。参数s类似于古典微分几何中的弧长参数，后者是一个内禀参数，并使得切矢量是单位矢量^[5]，不同之处是我们的参数s是负的，这是因为我们要把r₀当作曲线的终点而不是起点。今构造矢量势

(16)

相应的磁场是

(17)

注意到，上式的计算与式(10)完全类似。最终得到

(18)

其中

(19)

显然，是位于处的磁单极产生的磁场，而是沿曲线L 的磁通弦。因此，矢量势(16)描述的是狄拉克弦为曲线L 的磁单极。当r(s)=se，则L是沿e方向的直线，此时，e(s)=e，以上结果就退化为式(11-12)。

举一个实例。设L是圆柱螺线

(20)

则，切矢量为

(21)

代入式(19)，即可写出B′(r)的形式。但是这个结果不太直观。如果采用柱坐标，则可将各分量写成

(22)

这样物理图像就非常清晰了。对于，考虑ρz半平面且z<0，可以看到磁通弦多次穿过该半平面(注意ϕ 和z的取值范围都是(－∞,0］)，每次穿过的磁通量都是g。对于，考虑z给定且z<0的平面，可以看到磁通弦在ρ=a，ϕ =z/b 处穿过该平面，磁通量也是g。

2 规范变换与电荷量子化

本节对具有不同狄拉克弦的矢量势之间的关系作一些评述，并对电荷量子化问题作一些讨论。考虑一条空间曲线，它与前述曲线类似，也是由定点伸展至无穷远并以为终点，其参数方程为，将式(16)中的r(s)替换为，所得矢量势记作。如果和之间只有有限的一段不同，而其余部分是重合的，那么是一条有界的闭合曲线，设S是以C为边界的某一曲面，其法线方向由C的方向按右手定则确定。那么文献上[3,4]上已经证明(其中文献[4]有符号差异，疑为印刷错误)，

(23)

其中n′是S上r ′处的法向单位矢量，dσ′是面积元，而

(24)

是S 对r 点张开的立体角。下面对这个结果作一些讨论。

由于r∉S时，式(23)中的第二项没有贡献，故该项常常被直接忽略。此时看起来只是相差一个规范变换。但是即使忽略第二项，这个看法也是值得商榷的。因为Ω(r)表现出以下奇性，所以它不是一个正常的规范变换。首先，Ω(r)在S上没有意义；其次，当r越过S时，Ω(r)有一个4π的跃变；再次，无论如何选取S，Ω(r)在C上都没有意义。不过，如果只考虑r∉S，则式(23)第二项没有贡献，Ω(r)也处处有定义，此时确实是只相差一个规范变换。过去人们曾经由此出发，结合Ω(r)在S两侧的跃变和波函数的连续性来论证电荷量子化。思路如下：设带电为q的粒子受势场V(r)和矢量势A(r)的作用，ψ(r,t)是相应的薛定谔方程的解，那么，当矢量势改取为时，是新的薛定谔方程的解。都应该是连续函数。考虑位于S两侧的点，当两者均无限靠近S上同一点时，就有和，从而有1，考虑到，就得到电荷量子化条件，其中n∈Z。然而，这个论证是欠妥的。既然考察的是S两侧的点，而式(23)中的第二项正是在S上有贡献，那么忽略该项难免让人产生疑虑。下面我们给出一个修正的讨论。

对于式(23)中的第二项，当r在S附近时，我们可以以S上靠近r的某点为原点引入局部直角坐标系，完成切向坐标的积分可得该项结果为，其中x_n是局部直角坐标的法向分量，是符号函数。所以在S附近，我们可以局部地写出

(25)

当r 越过S 时，两项的跃变正好互相抵消了，因此整个规范变换函数本身并没有跃变。由此可见，上一段的论证确实存在失察之处。当然，这绝不意味着电荷量子化的结论不成立，因为可以有其他论证方法，比如吴大峻-杨振宁磁单极描述方案中的论证方法，后面会加以讨论。

在S附近，我们得到了式(25)中的局部关系。是否可以找到一个光滑函数使得上式在全空间仍然成立呢？这显然是不可能的，因为那样对应的磁场将为零，而事实上目前情况下对应的磁场是一条闭合的磁通弦，而不是零。那么退而求其次，是否可以找到一个有一定奇性的函数使得前述关系在曲线C以外处处成立呢？理论上这是可能的。事实上，在特殊情况下，这是可以做到的，参看下面式(26)和(27)的结果。但是，在一般情况下，由于技术上的困难，我们暂时未能找到的表达式。

以上讨论的是为有界闭合曲线的情况。其实看起来更自然的情况是和L只有有限的重合甚至完全不重合的情况。此时是一条开放的曲线，两端都伸展至无穷远。这种情况在文献上似乎被忽略了。这时候用立体角来描述规范变换似乎是不可行的，因为一条开放曲线对一点张开的立体角没有意义。但是，如果和L都具有确定的渐近方向，我们就可以用一段大圆弧把两者的末端连接起来以形成闭合曲线，于是曲面和立体角就有了确切的意义。容易证明沿大圆弧的积分没有贡献，所以前面的结果仍然有效，只不过此时曲面S是无界的。比如当是y轴正半轴，L是x轴的正半轴，那么可以取第一象限的1/4大圆弧为辅助曲线，此时S就是xy平面的第一象限。但是，如果或L没有确定的渐近方向，比如至少其中之一是前述圆柱螺线那样的情况，则难以作类似的推广。此时如何找到适当的变换函数，仍有待研究。

回到式(3)，将其中的e改为-e，得到的结果记作，容易证明，在这种情况下

(26)

其中e′是与e垂直的任一单位矢量。特别地，如果，则得

(27)

注意其中的函数不是光滑函数，它在整个z轴上没有定义。事实上此时是阿哈罗诺夫-玻姆矢量势，对应的磁场是z轴上的磁通弦。另一方面，这种情况的曲线是z轴，方向是从z=+∞到z=-∞。我们用xz平面上x<0部分的大圆弧与C一起构成闭合曲线，那么S也就是这个半平面。此时，用直角坐标，r=(x,y,z)，r′=(x′,0,z′)，n′=e_y，dσ=dx′dz′，于是

(28)

利用积分公式(8)完成对z′的积分，然后对x′的积分也很容易计算，最后得出

(29)

第二个等号很容易验证。代入式(23)(忽略第二项)，所得结果与式(27)一致，如所期望。不过，对于更一般的曲线，计算立体角的显式是相当困难的。

最后，为方便读者，简单介绍一下吴大峻-杨振宁磁单极描述方案，并简述该方案中电荷量子化的论证思路(文献[2]对此并无详细说明)。将式(1)的A(r)用于区域D：0≤θ<π；将式中的换为得到，用于区域。这就是吴-杨描述方案。在重叠区域0<θ<π，两者相差式(27)的规范变换。任何涉及A的算符，也都用互相关联的一对算符来描写，记作F(其中出现A)和，分别用于区域D和。波函数(比如算符的本征函数)则分别为ψ(r)和。由于力学量算符中A总是与动量算符p以p-qA的组合形式出现，所以在重叠区域有

(30)

相应地，波函数满足

(31)

因为ψ(r)是D内的单值连续函数，是内的单值连续函数，在重叠区域内，两者皆为单值连续函数，所以必须有，由此即得前述电荷量子化条件。初学的读者也许会觉得式(31)有强加的意味。事实并非如此，但需要注意ψ(r)和的对应关系，如果仅仅是哈密顿算符的本征函数，则该式并非必然成立。考虑一套力学量完全集，仍然记作F和，各自代表多个算符，设

(32)

其中λ代表多个本征值。利用上式第一式和式(30)可知在重叠区域有=，结合式(32)第二式并考虑到本征值没有简并(已经取力学量完全集)，可知在重叠区域必有，其中α为实数(已考虑归一化)，取α=0即得式(31)。依作者浅见，吴-杨描述方案更加完善，其中矢量势没有狄拉克弦，从而避免了其是否有物理效应的争议。

参考文献

[1]DIRAC P A M. Quantized singularities in the electromagnetic filed[J]. Proc Roc Soc A, 1931, 133(821): 60-72.

[2]WU T T, YANG C N. Dirac monopole without strings: monopole harmonics[J]. Nucl Phys B, 1976, 107(3): 365-380.

[3]JACKSON J D. Classical Electrodynamics[M]. 3rd ed. New York: Wiley, 1998.

[4]王青. 电磁学与电动力学中的磁单极-Ⅱ[J]. 物理与工程, 2014, 24(5): 30-34. 

WANG Q. Magnetic monopole in electromagnetism and electrodynamics-Ⅱ[J]. Physics and Engineering, 2014, 24(5): 30-34. (in Chinese)

[5]苏步青， 胡和生， 沈纯理， 潘养廉， 张国樑． 微分几何[M]． 北京：高等教育出版社， 1979．

基金项目: 中山大学教务部2018年度教学质量工程类项目(中大教务2018年294号)。

作者简介: 林琼桂， 男， 中山大学教授， 从事理论物理学的教学和研究工作， 研究方向为量子理论中的解析方法， [e-mail]。

引文格式:  林琼桂. 磁单极狄拉克弦上磁场的显明形式[J]. 物理与工程，2020，30（2）：网络首发.

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