有为的青年老师何睦：高中数学章节起始课的研究----以“不等关系”教学为例

本文发表于《数学通讯》（下半月）2017年7月刊

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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何睦，中小学一级教师，教育硕士，张家港市学术带头人，张家港市学术指导团专家组成员。2018年苏州市基础教育教学成果奖（基础教育类）一等奖获得者，曾获张家港市优秀高三数学教师、局级优秀共产党员等称号。工作9年来，已出版专著《高中数学章节起始课的教学研究与案例设计》，在国家级核心、省级期刊发表教育教学论文近50篇，其中10篇文章被中国人民大学报刊复印资料《高中数学教与学》全文转载，同时还指导近20位学生在国家级刊物发表小论文17余篇。主持江苏省教育科学“十三五”规划2018年度青年专项重点资助课题和苏州市基础教育前瞻性教学改革实验项目的研究。撰写的案例《数学章节起始课：从惑到识》获得全国教育指导委员会教育硕士专业学位案例库的入库资格。

高中数学章节起始课的教学研究

                          —— 以“不等关系”的教学为例

随着2001年《义务教育数学课程标准（实验稿）》的颁布，我国新一轮数学课程改革拉开了帷幕，随之出现的是基于课程标准的教材，一改以往全国只有一本教材的现状.无论哪个版本的教材，都有一个相似设计，即是教科书在每一章的起始都有一段话——章引言，有的教材还有与本章内容配套的图片——章头图.这些内容与一般数学教学内容不同，不是以单独课题出现，而是放在一章之前，成为一章的起始内容.于是，伴随着新课程改革和教材变革，产生了一种新的课型：基于章节起始内容的数学教学课——章节起始课.

以高中“不等关系”为例，苏教版教材“不等式”一章中，在第一节“不等关系”之前，首先呈现的是这样的几段文字：

 “在现实世界和日常生活中，存在着大量的不等关系，不等式是刻画不等关系的数学模型.

我们已利用不等式的基本性质求得一元一次不等式的解集，同时，研究了一元一次不等式与一次函数及一元一次方程三者之间的关系.

当我们面临新的不等式时，例如，一元二次不等式、二元一次不等式等，我们自然会想到，曾经用过的数学思想方法还能继续运用吗？”

这些内容成为“不等式”这一章的起始内容，理应成为第一节“不等关系”教学内容.

但是章节起始课的教学现状却不尽人意.一方面由于数学课时安排紧，个别教师往往认为章节起始课没有讲解的必要，不重视章节起始课的教学，在观念上轻视章节起始课；另一方面，部分数学教师虽然认识到章节起始课的特殊性，但不知如何设计章节起始课，不清楚章节起始课应该承载怎样的数学教育价值，往往在教学中一带而过，尽快进入新的教学内容.可见，数学教师对于这一新课程改革的新课型没有充分的认识，没有上升到“课”的高度进行教学设计并有效实施.

在此背景下，如何开展章节起始课的教学、什么是有效的章节起始课等问题成为数学教育研究迫切需要解决的问题，而这不仅仅是落实数学课程改革的需要，也是改变现有数学教学状况的现实需求.一个高效有序的章节起始课的教学案例能使我们感性地认识章节起始课，为我们开展有效的章节起始课教学指明方向.江苏省教授级高级教师、江苏省苏州中学樊亚东老师执教的“不等关系”就是这样的一堂课.

一、教材呈现

“不等关系”是苏教版高中数学必修5第三章第一节的内容，是第三章“不等式”的章节起始课.教材对这一节内容并未作太多的展开，除了上面给出几段文字说明外，教材通过由3个具体的实际问题（分别是一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式组模型）来帮助学生理解不等关系，引导学生建立相应的不等式模型来刻画实际问题，以下是教材呈现的三个实际问题：

在日常生活中、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况.例如：

（1）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠. 那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略？

（2）某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册. 经过调查，若价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册. 要使杂志社的收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？

二、课堂教学实录

    在简单的自我介绍后，樊老师就开始组织“不等关系”的课堂教学了，他花了10分钟不到的时间和学生一起分析了教材上的3个实际问题.10分钟不到的时间就把教材上的问题“一带而过”，正当在场的所有听课教师为樊老师“捏把汗”时，谁也没有料到一堂成功、精彩、高效、有序的章节起始课的课堂教学这才拉开序幕.以下仅展示后30分钟的教学片段.

【片段1】

B：我们学习时，要养成一个好习惯：当我们接触一个新的数学内容时，请思考一下是否有我们已经学过的知识和它是有关联的？大家觉得我们即将要学习的“不等式”内容和我们之前学习的哪些内容能产生联系？

生1：一元一次方程.

生2：一元一次不等式.

生3：函数.

……

B：同学们的回答提醒我们，我们之前已经学过了许多相关知识.大家要养成一个好习惯，当我们学习新内容时，要先思考一个问题：它和我们已经学过的什么内容有联系呢？我和大家交流一下我的看法，假如我来学不等式，我觉得发生关联最多的应该是等式的问题.刚才有同学说一元一次方程，这就是一个特殊的等式.还有同学说到一元一次不等式，这是提醒我们已经学过不等式.可以看出，等式和已经学过的不等式会和今天要学的不等式发生最密切的联系.下面，我们就顺着这个思路，先来回顾一下我们学过哪些相关的等式知识.

【片段2】

三、分析与讨论

不难看出，樊老师组织了有效的章节起始课的教学.教材中的三个问题情境仅是引入不等式这一章的一个小序曲，樊老师考虑到大部分学生已具备从现实情境中构建不等关系的能力，并未将此作为教学重点，而是在深刻理解教材的基础上，对教材上三个问题情境的教学内容进行了压缩，创造性地使用了教材，重点关注了“不等关系”这一章章节起始内容的教学.“不等关系”的教学何以成功？需要对樊老师的课堂实录片段作出进一步的分析与讨论.

3.1 关于片段1的教学分析与讨论

樊老师首先抛出问题，让学生自己将已经学过的知识与本节所要学习的不等关系进行联系.这样学生不仅有意识地回顾了旧知，而且在教师的引导下，不断思考新旧知识的联系.在寻找相同点的同时也无意识地发现了新旧知识的某些不同点. 这无疑促进了知识的正迁移，实现了“为了迁移而教”的理念. 在章节起始课的教学中，教师凭借其自身教学经验对学生认知结构的把握非常重要.在本课之前，学生已经掌握了一些简单函数、等式和一元一次不等式的相关知识，特别是关于等式的知识，学生学习得比较多，基础知识都很扎实.同时，樊老师还向学生阐述了自己的看法，进一步地引导学生将已学过的函数、等式和不等式等知识与本节的不等式关系知识进行联系.樊老师以此作为新知的生长点，自然地生长出了本章要研究的内容.因此，充分把握学生的认知结构，尽可能利用学生所学过的、掌握牢固的原有知识来进行新知识的迁移，学生对新知识的理解、接受与掌握的过程必然加快，实际的教学效果一定非常好，在本课中，樊老师一开始就把握到了这一点.

3.2 关于片段2的教学分析与讨论

本片段樊老师主要解决的是本章的研究对象问题.樊老师并没有直接给出答案，而是先引导学生回顾等式的方法：一是证明恒等式，二是解等式，即解方程.学生在樊老师的引导下，类比得到不等式这一章即将要学习的主要内容：证明恒成立的不等式和解不等式.这样的一个教学过程，学生不仅了解了不等式这一章的研究内容，而且更重要的是学生会在大脑中主动地将等式和不等式两个主题联系在一起，进而把握不等式和等式共同的内在联系和结构，促进学生在大脑中形成良好的认知结构.

从教材知识网络体系的角度，由于本节课内容简短，因此教材的知识网络体系并不是很明显.樊老师为了加强学生对教材知识结构的掌握，创造性地对教材进行了教学法加工.樊老师选择了等式作为切入点.利用学生对等式的相关性质的理解与掌握，将等式的相关知识及研究方法迁移到不等式上来.例如利用这样的绝对恒等式和这样的非恒成立等式，从两个方面说明等式的类型，从而将之迁移到不等式的类型.同时将等式研究的内容迁移到不等式中，促使学生对不等式的内容有了一定的认识，即证明不等式和解不等式.这样，学生在后续的学习中会遇到类似的问题时就能够自己进行知识的迁移，利用以前所学为今后所学服务.在这样的过程中，学生会将之前所学知识与新学的知识串联起来，不断同化新知识，建立新的知识网络，提高学习效果.

3.3 关于片段3的教学分析与讨论

的对应值的观察，促使学生对不等式的解集有了更加具体的认识. 而后接着延续之前的研究思路和方法，将之用于解决的解集问题，自然地在课堂中渗透了数学思想方法.

3.5 关于片段5的教学分析与讨论

课堂的最后，樊老师布置了三个思考题，其中第三个题目显然已经超出了学生现有的理解范畴，但在课后，很多学生都能正确地解答这个问题.这表明，通过樊老师的教学，学生已经真正地领会到类比方法、数形结合思想等方法的内涵，能将类比和数形结合思想方法内化到自己的知识结构中，从而促成了知识的正迁移.

四、进一步思考

樊老师的不等关系的教学不仅注重不等式求解方法的掌握，还强调学生在面对新知识、新问题时独立思考、主动联系之前所学的知识. 樊老师在整个教学过程中始终渗透类比和数形结合等思想，促成了学生在基础知识、基本技能、思想方法方面的共同发展，提升了学生的认知水平. 更重要的是，樊老师在教学过程中引导学生进行对类比方法、数形结合思想的认识和理解，让学生真正地掌握了类比方法和数形结合思想，并把学习到的思想运用到新问题的解决之中. 经过笔者和所在教研组的多次研讨，我们又有了进一步的认识.

4.1 章节起始课的教学起点是什么

著名教育心理学家奥苏伯尔在其著作《教育心理学》的扉页上写着这样一句话：“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学.”这一点明确告诉我们，数学教学要立足学生的已有认知，以学生的已有认知作为新知的重要生长点.章节起始课作为整章的开篇和布局，知识生长点的研究显得更为重要.在进行章节起始课的教学设计时，要充分了解和分析学生的原有认知结构中是否具有适当的能够与章节新知建立联系的知识生长点，找到知识生长点有助于找到新知的源头活水，才能使探求新知成为可能.

4.2 章节起始课的教学内容是什么

章节起始课作为一章的起始，应能使学生对全章学习内容总体上有一个大致的了解，以帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，形成良好的认知结构.章节起始课要充分发挥其先行组织者的角色，让学生整体构建章节体系，具体地，应该让学生知晓本章要研究什么内容？用什么样的方法去研究本章内容？研究的过程中会涉及哪些常用的数学思想方法？樊老师既高屋建瓴的构建了本章要研究的相关知识，同时又给学生提供了研究的方法.值得一提的是，有不少学生在课后能独立完成樊老师在片段5布置的课后思考题，特别是课后思考题3，其涉及的是二元一次不等式的相关知识，能独立解决这个问题实属不易，这一定是与樊老师高效、有序的章节起始课教学有关.因此，一个有效的章节起始课，应该是研究内容和研究方法的融合，章节起始课应该是黑暗中一盏指路的明灯，应该发挥其先行组织者的功能，为学生的学习起到统领全章的作用.

4.3 章节起始课的教学目标如何定位

章节起始课是利于学生形成良好数学知识结构的重要课型，樊老师通过5个片段的教学，从整体上构建了本章要研究的知识结构和研究方法，这有助于学生更好的形成数学的“Bigideas”，学生通过后续课程的学习能不断的对该结构进行扩展、修正、完善，最终形成完整的知识结构.而良好的数学认知结构是由良好的数学知识结构转化而来的.一旦学生在头脑中形成了便于记忆和迁移的数学知识结构，并若能以网络化、结构化的方式将零碎的知识结构整合起来，在学生头脑中便能形成良好的认知结构，最终提高学生的问题解决水平，提升学生的数学素养和终身学习的能力.

                                    参考文献

[1]崔允漷．有效教学[M]．上海：华东师范大学出版社，2009.

[2]吴晓红．数学课堂教学反思[M]．上海：华东师范大学出版社，2014.

[3]周远方．“章引言”是起始课教学指路的明灯[J]．数学通报，2015(5).

[4]陶维林．研究章引言，上好起始课[J]．中国数学教育，2010(3).

[5]余建国．让章起始课的教学设计更大气[J]．数学教学研究，2014(9).

[6]何睦，梁付元.有效的高中数学章节序言课的教学[J].中学数学月刊，2017(2).