高等代数，第四版，第四章P198，T3

高等代数，第四版，第四章P198，T3

数学兴趣大讲堂

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Kusner 猜想

    定义 n 维空间中 P(p1, p2, …, pn) 和 Q(q1, q2, …, qn) 两点之间的 Manhattan 距离为 |p1 – q1| + |p2 – q2| + … + |pn – qn| ，直观地说就是在 n 维网格中从 P 到 Q 的最短路径长度。某日，木遥告诉了我一个与此相关的数学未解之谜：在 n 维空间中，最多可以有多少个 Manhattan 距离两两相等的点？

    容易看出，这样的点至少可以有 2n 个，例如三维空间中 (1, 0, 0) 、 (-1, 0, 0) 、 (0, 1, 0) 、 (0, -1, 0) 、 (0, 0, 1) 、 (0, 0, -1) 就是满足要求的 6 个点。大家肯定会想，这应该就是点数最少的方案了吧？不过，真要证明起来可没那么容易。1983 年，Robert Kusner 猜想， n 维空间中 Manhattan 距离两两相等的点最多也只能有 2n 个，这也就是现在所说的 Kusner 猜想。目前人们已经证明，当 n ≤ 4 时， Kusner 猜想是正确的。当 n > 4 时呢？虽然大家相信这个猜想也应该是正确的，但还没有人能够证明。

    有趣的是，在很多其他的度量空间下，同类型的问题却并没有这么棘手。如果把距离定义为标准的 Euclidean 距离，那么 n 维空间中显然最多有 n + 1 个等距点；如果把距离定义为 Chebyshev 距离（即所有 |pi – qi| 中的最大值），问题的解则是 2n ，即 n 维坐标系中单位立方体的 2n 个顶点。一旦换作 Manhattan 距离，问题就迟迟不能解决，这还真有些出人意料。

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