中考冲刺系列——圆综合（4）[尖子生之路]

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中考冲刺系列——圆综合（4）

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【例题】如图，已知P为锐角∠MAN内部一点，过点P作PB⊥AM于点B，PC⊥AN于点C，以PB为直径作⊙O，交直线CP于点D，连接AP，BD，AP交⊙O于点E．

（1）求证：∠BPD＝∠BAC．

（2）连接EB，ED，当tan∠MAN＝2，AB＝2√5时，在点P的整个运动过程中．

①若∠BDE＝45°，求PD的长．

②若△BED为等腰三角形，求所有满足条件的BD的长．

（3）连接OC，EC，OC交AP于点F，当tan∠MAN＝1，OC∥BE时，记△OFP的面积为S₁，△CFE的面积为S₂，请写出S₁/S₂的值．

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【图文解析】

（1）如下图示．根据四边形内角和为360°．

（2）①

由tan∠BPD＝tan∠MAN＝BD/PD＝2可设PD＝m，BD=2m．在Rt△BPD中，由勾股定理，得m²+(2m)²=(2√5)²，解得m=2，即PD＝m=2．

②分下列三种情况：

情况1：当BD＝BE时，如下图示．

由tan∠BPD＝tan∠BPE＝tan∠MAN＝BD/PD＝2，得AB/BP＝2，因AB＝2√5，得BP＝√5．进一步，可设PD＝m，BD=2m．在Rt△BPD中，由勾股定理，得m²+(2m)²=(√5)²，解得m=1，即BD＝2m=2．所以BD＝4．

情况2：当BE＝DE时，如下图示：

情况3：

在Rt△APC中，由tan∠APC＝2，得2+2m=2(4-m)，解得m=3/2，所以BD＝2m=3．

综上所述，当BD＝2、3或2√5﹣2时，△BDE为等腰三角形．

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（3）图解如下：

进一步，有：

【反思】利用圆的相关性质，结合相似和三角函数的定义，充分利用“设元“（方程思想），简化其中的运算，便于得到相关结论．同时要注意利用圆内接四边形的性质进行角的转化．

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中考冲刺系列—《圆》

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中考压轴题复习教学体会系列

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