[2020版]七下期末复习—中难题选析（4）

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七下期末复习—中难题选析（4）

试题部分(解析在后面)

【例1】如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，（1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；（2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；（3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．

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【例2】如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.
（1）求∠CBD的度数．（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

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【例3】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

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解答部分

【例1】如图，直线AE与CD相交于点B，射线BF平分∠ABC，射线BG在∠ABD内，（1）若∠DBE的补角是它的余角的3倍，求∠DBE的度数；（2）在（1）的件下，若∠DBG=∠ABG﹣33°，求∠ABG的度数；（3）若∠FBG=100°，求∠ABG和∠DBG的度数的差．【图文解析】

（1）设∠DBE=α，依题意，得

180°﹣α=3（90°﹣α）.

解得α=45°.

∴∠DBE的度数为45°.

（2）可通过“设元”，利用“方程”思想进行解决.如下图示：

设∠ABG=x⁰，∠DBG=y⁰，

∴∠ABG＝84⁰.

（3）类似(2)，设∠ABF=∠CBF=β，则∠ABG=100°﹣β，∠DBG= =80°﹣β，如下图示：

∴∠ABG﹣∠DBG

 =(100°﹣β)﹣(80°﹣β)=20°，

即∠ABG－∠DBG＝20°．

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【例2】如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.

（1）求∠CBD的度数．（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．【图文解析】（1）由AM∥BN，得∠ABN＝180⁰－∠A＝120⁰，由BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，得∠CBP＝0.5∠ABP，∠PBD＝0.5∠PBN，得∠CBD＝0.5(∠ABP+∠PBN)=0.5∠ABN＝60⁰.如下图示：（2）由AM∥BN，得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，由BD平分∠PBN，得∠PBN＝2∠DBN，所以∠APB：∠ADB＝2∠DBN：∠DBN＝2：1.如下图示：
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，由平行线的性质，可得∠ACB=∠∠CBN，结合已知条件可得∠DBN=∠ABD，所以∠1＝∠2. 如下图示：
又由BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN，得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，如下图示：
再由（1）得∠ABN＝120⁰，
所以∠1＝30⁰.即∠ABC＝30⁰.

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【例3】如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE=60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；
（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．【图文解析】（1）由“∠COE=60°，OA平分∠COE”，得∠AOC=30°，根据邻补角的定义，得到∠BOD=180°﹣30°﹣90°=60°；（2）①分两种情况进行讨论：当OE平分∠AOB时，∠AOE=45°，如下图示：则∠COE-∠AOC＝45⁰.
所以(60+9t)-(30+3t)＝45.解得t=2.5.当OF平分∠AOB时，∠AOF=45°，如下图示：由∠EOF＝180⁰，得：
(360-9t)+(3t-30)+45=180解得t=32.5.综上，当t=2.5s或32.5s时，直线EF平分∠AOB.②同样分两种情况进行讨论：当OE平分∠BOD时，∠BOD =2∠DOE，如下图示，得180-90－(3t+30)=2(180-60-9t).
解得t=12.当OF平分∠BOD时，如下图示，得∠AOD＝180⁰-∠AOC=150⁰-3t⁰.
进一步，得：∠BOD＝90⁰－(150⁰－3t⁰)=3t⁰-60⁰.另一方面，如下图示，所以∠DOF＝∠COE＝9t⁰－300⁰.
当∠BOD＝2∠DOF，有3t-60＝2（9t-300），解得t=36.综上，若直线EF平分∠BOD时，t的值为12s或36s．

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