[2020版]八下期末复习—中难题选析（8）

Original 永泰一中张祖冬初中数学延伸课堂 2022-07-16

收录于合集 #八下期中/期末-中难压轴（含全卷）解析 61个

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八下期末复习—中难题选析（8）

【例】如图，AC是正方形ABCD的对角线．点E为射线CB上一个动点（点E不与点C，B重合），连接AE，点F在直线AC上，且EF=AE．

（1）点E在线段CB上，如图1所示；

①若∠BAE=10°，求∠CEF的度数；

②用等式表示线段CD，CE，CF之间的数量关系，并证明．

（2）如图2，点E在线段CB的延长线上；请你依题意补全图2，并直接写出线段CD，CE，CF之间的数量关系．

图文解析：（1）①不难求得：∠CEF＝10°（＝∠BAE，非偶然，是必然，下面给予简单证明）..由∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－∠CAE，而（在△CEF中）∠CEF＝∠ACB－∠F＝45°－∠F，又由EF＝AE可得：∠CAE＝∠F，从而得到∠CEF＝∠BAE（这个结论在后面的证明常用到）.下图示。

②下面给出六种不同的解法：解法一：在AB上截取BG＝BE，连接EG，下图示：

不难得∠AGE＝∠ECF＝135°，AG＝CE（因AB＝BC，BG＝BE），又由①证得：∠BAE＝∠CEF，从而可得到：△AGE和△CEF全等，所以CF＝EG，同时△BGE是等腰直角三角形，进一步得到：BE＝2分之根2GE＝2分之根2CF，又CD＝BC＝CE+BE＝CE+2分之根2CF，即线段CD，CE，CF之间的数量关系三者关系为：

解法二：过F点作FG⊥BC交BC的延长线于G，下图示：

根据∠B＝∠G＝90°，∠BAE＝∠CEF（上述已证）和AE＝EF，可以证得△ABE和△EFG，得到：FG＝BE，同时△CFG为等腰直角三角形，有FG＝2分之根号2CF，即BE＝2分之根号2CF，……（下同）.（上面两种证法属于常规证法，易想到）

解法三：延长AB至G，使BG＝BE，连接EG和CG，（相当于△ABE绕B点顺时针旋转90°，得到△BCG），下图示：

不难证得：△ABE和△CBG，得到∠BAE＝∠BCG，而∠BAE＝∠CEF（上已证），所以∠BCG＝∠CEF，同时∠CEG＝∠ECF＝135°，CE＝EC，从而△CEG和△ECF全等，得到GE＝CF，同时△BEG为等腰直角三角形，进一步得到BE＝2分之根号2GE＝2分之根号2CF，下同…….

解法四：将△AEG绕E点顺时针旋转90°得到△HEG，下图示：（证明与上述情况类似，下面简写分析过程）.

由旋转可得到：BE＝AE＝EF，EC＝EG，∠AEH＝90°，同时∠CEH＝∠BAE＝∠CEF，进一步又可证明△CEF和△CEH全等，（下图示）

从而∠CH＝CF，且CEF＝∠ECH＝135°，又∠ECG＝45°，得到∠GCH＝180°，从而G、C、H三点共线，所以：

（其实证法三和四，用的旋转的方法进行转化，下面用对称的方法继续探索）

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解法五：作△CEF关于CE对称得到△CEG，连接AG.（下面看图示，不做详细说明）

解法六：（类似解法五）

（3）同样也有类似的六种解法：（下面以图形形式介绍）结论是：

解法一

解法二

解法三

解法四

解法五

解法六

反思1：本题其实就是课本的一道试题进行变式得到的：

是这么变形来的——对称：

（本公众号前面文章“一道精典的几何证明题的多种证题思路与拓展”有这题的详细变式）反思2：将上述正方形分别改为其他的正多形，解法与结论类似：（试试看！，其中等边三角形、正方形和正六边形时，八年级学生可以做的，其他正多边形九年级学生才可完成）.如：等边三角形时，

正五边形时：

正六边形时：

其实，E在直线BC上的任何位置均可，均有类似的结论，均有六种解法。（上述没给出E点BC的延长线上，主要原因图形的版面太大）答案：对于正n边形，结论是：E在BC边上时，CD＝CE+CF除以（2cos180°/n）；E在CB延长线上时，CD＝CE－CF除以（2cos180°/n）；E在BC延长线上时，CD＝CF除以（2cos180°/n）－CE.