张靖华——转化为等价命题后再求解的解题技术
请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；
请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。
公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。
开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。
邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，文责自负。
投稿邮箱：zoushengshu@163.com；
投稿微信号：13297228197。
本公众号对优秀作者和名师实行“双推学习”，在分享文章的同时推介作者简历，让读者朋友更好的了解作者的研究成果和研究方向，以便进一步研读作者的相关文章。
欢迎转载本公众号文章，转载请注明：
“文章来源：邹生书数学”等字样。
张靖华,中学数学教师，高级职称，中国数学学会会员，吉林市数学学会理事，中国数学学奥林匹克一级教练员.酷爱中等数学研究工作，曾在数学通讯、中学数学、数学学习与研究、数学教学研究、数学大世界等刊物上发表20余篇论文，代表作（处女作）《一对孪生命题的证明及推广》发表于苏州大学主办的《中学数学》1990年第3期.
张靖华 成志课堂数学组13683591398
在解数学问题时，经常遇到直接对原命题求解难以奏效的尴尬情况，这时通常的作法是：改变思路，构造与原命题等价的新命题后再进行求解，这种用等价命题来间接求解的转化思想行之有效，下面仅举两例加以说明.
一．构造等价命题
例1：在下(图1)中的棋盘内放入4枚棋子，如果任意一行或一列至多放一枚棋子，共有多少种不同的放法？
显然这是个棋盘放子问题，如果直接用求棋盘多项式的定义、展开定理、分离定理求解，都十分繁杂，不易奏效，如果把(图1)用数标成(图2) 则问题就转化为与之等价的另个命题：命题从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11中任意选出4个不同的数，其中任意两个数之差不等于1的取法各有多少种？
解：插空法。对于每一种取法，对于1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这11个数，每个没取出的数上打“×”，每个取出的数上打“√”，就得到了7个“×”和4个“√”的一个排列，其中“√”不相邻．每一种取法和每一种这样的排列一一对应．
因而问题就相当于：7个“×”和4个“√”排成一列，其中“√”不相邻，这样的排列有多少个？故符合题意的不同放子方法共有C48=70种．
用这种等价命题转化方法可以快速得到该棋盘的多项式为:
解：按这些三角形有几个顶点在圆周上分如下4类（3、2、1、0）
（1）3个顶点在圆周上时有C310个;
（2）2个顶点在圆周上时，另1个顶点必在圆内，而圆内每一个点对应圆周上有4个点，故圆内的每1个点都与圆周上的4个点建立了一一对应的关系，而有一个顶点在圆内，另2个顶点在圆周上的三角形都有4个，故此类三角形有4C410个; (四边形对角线交点是唯一的)
（3）1个顶点在圆周上时，另2个顶点必在圆内，而圆内每2个点对应圆周上有5个点，故圆内的每2个点都与圆周上的5个点建立了一一对应的关系，而每2个顶点在圆内，另1个顶点在圆周上的三角形都有5个，故此类三角形有5C510个;
（4）0个顶点在圆周上时，另3个顶点必在圆内，而圆内每3个点对应圆周上有6个点，故圆内的每3个点都与圆周上的6个点建立了一一对应的关系，而每3个顶点都在圆内的三角形都只1个，故此类三角形有C610个; 故符合题意的三角形共有C310+4C410+5C510+C610=2430个.
作者近期文章链接
闻 菊
闻出金黄在苦秋，寒潭小路月露头。
只因不喜清风路，唯做隐士第一流！
再荒凉的季节，都不要忘记，开在心中的花朵，永远不会凋零；再困难的时候，都要记住，最美的永恒，从来不会，向命运妥协。命运，从来不会，厚此薄彼，无论是谁，只有经过，风雨中的前行，才有岁月的阳光，拥有着红尘的深情与温暖；只有走过，一路山高水长，才有季节的灿烂，绽放一树，美好和安宁。
（以上诗文由汪跃中老先生提供）