罗小明：​一道经典解三角形问题的解法探究

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一道经典解三角形问题的解法探究

湖南省益阳市牌口学校     罗小明

【题目】已知：在△ABC中,∠ABC=60°,BC=4,线段AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若DE≥√6，求∠ACB的最大值.

分析：此题源自抖音直播平台 “韩教授初中数学”给出的一道经典问题，并且韩教授提供了一种初中解法.我通过利用初高中数学知识进一步思考与探索，得到了其它解法.下面一一列出，以飨读者.

法一：初中解法，构造辅助圆+正弦定理+三角函数(韩教授提供)

点评：此法通过构造辅助圆来利用圆的相关知识来解答有关三角形问题，解题过程中多设了两个辅助元，即线段AC=2a和圆的半径r，利用方程思想来完成解题任务.其构思非常巧妙，解法比较大胆，不愧为奇思妙想，妙手偶得之.

法二：初中解法，正弦定理+三角函数

点评：此法只需利用正弦定理和三角函数两个知识点来建立方程组，只需要设一个辅助元，无需添加辅助圆，解法更加精妙.

法三：相似三角形性质+三角函数+正弦定理+不等式

点评：此法通过引高法构造直角三角形，应用三角函数知识可以所设辅助元a和α表示出线段BF和CF，再利用相似三角形性质得到线段DE的表达式，进而应用正弦定理消除辅助元a,从而建立关于α的不等式来求解.

法四：解析法+差角公式+正弦定理+不等式

点评：此法主要利用图形的特殊性，建立平面直角坐标系，应用解析法求得直线AB的方程，然后求得它与y轴的交点坐标，即可得到线段DE的表达式，从而利用题设建立不等式.再应用正弦定理来配合消元，使问题迅速获解.我还尝试了以BC所在直线为X轴，以线段BC的垂直平分线为y轴来建系，但运算非常繁琐，我选择了中途放弃，有兴趣的朋友不妨一试.

法五：正弦定理+三角函数+正弦倍角公式

点评：此法主要抓住线段中垂线的重要性质和三角形外角性质，利用正弦定理、三角函数及倍角公式，即可获解，思维路线也比较简单快捷.

法六：解析法+向量法+不等式解法

点评：此法主要利用解析法和向量法来建立线段之间的关系，同时考虑相似三角形性质也是非常必要的，由此可以找到向量DE与FB的倍数关系，从而建立不等式.当然我们还可以在Rt△ADE中，求得向量AE的模和向量AD的模，应用勾股定理来求得向量DE的模，然后建立不等式也未尝不可.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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