刘耀忠——利用递推数列求概率

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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利用递推数列求概率

刘耀忠        广东潮阳实验学校高中部

有些概率问题可以通过构建递推数列求解。

【例1】（教材问题）甲,乙,丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人,求第n次传球后球在甲手中的概率。

【例2】某情报站设有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能随机选用一种，设第一周用A种密码，求第七周也使用A种密码的概率.

【例3】A、B二人拿出两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出次数之和为3的倍数时，原掷骰子的人继续掷，若抛出不是3的倍数时，就由对方接着掷，第一次由A开始，求第n次由掷的概率P_n.

【例6】某电路开关闭合后出现红灯功绿灯闪动，设开关第一次闭合出现红灯与绿灯的概率均为1/2，从开关第二次闭合起，妆前次出现红灯，则下次出现红灯的概率为1/3，出现绿灯的概率为2/3，当前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率为3/5，出现绿灯的概率为2/5，求第n次出现红灯的概率为P_n.

【例8】（2019全国1）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

【作者简介】刘耀忠，湖北黄冈市人，现就职广东潮阳实验学校。在《中学生数理化》《新高考》《中学数学研究》等杂志发表文章30余篇，主编教辅资料两本。

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