【初中数学研究】数学那些美妙的相遇

乐学数韵 2022-07-17

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下面以实例探讨大思维指导下的解题。

例1.（改编自宁波中考题）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC把四边形分成两个等腰三角形，求∠BCD的度数．

通常的方法：画图尝试，多次试验后找到可能的情况，再进行相关计算。这样当然也可以做出来，但是显得混沌无序，要耗费很长时间和很大力气才能解决，而且容易漏解，也不易确定是否穷尽所有可能。

我们是搞数学的，当然要追求经济、高效、优美地解决问题。很简单，只要用大思维抬升思考维度就可以轻松解决！科幻小说中有“降维攻击”的说法，我们这里也可以叫做“升维攻击”，试想如果今天的空军部队与古代的地面部队战斗，那一定是毫无悬念的轻松压制，哪怕不用现代武器，就算在飞机上扔石头也能把对方轻易消灭，这就是三维对二维的巨大优势。

大思维分析：我们先做“定变分析”，从图形整体的角度看，可知△ABD已知两边夹角，是形状大小确定的三角形，所以问题的实质是确定未知点C的位置。我们再来提升维度，要求点先找线，通过“轨迹线”确定四边形的“未知点”。由于△ADC是等腰三角形且BC=AB，根据圆和垂直平分线的判定方法，易知点C在以B为圆心AB为半径的圆上，点C亦在以A、D为圆心的圆上或AD的垂直平线上（这是典型的已知两点求第三点构成等腰三角形的问题，作两圆一线即可确定第三点轨迹），如下图，红线与绿线的交点即是满足条件的所有点，去掉不合题意的点即可。

上图基础上再在三角形中进行角度计算也非常简单！这样解题是不是简单快捷一目了然精准无比？还用担心分类讨论的答案有所遗漏吗？

例2.（2019•河南）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

（1）观察猜想

如图1，当α=60°时，BD:CP的值是　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　．

（2）类比探究

如图2，当α=90°时，请写出BD:CP的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时AD:CP的值．

大思维分析：

（1）如下图，看图形的整体关系，两个等边三角形手拉手构成△APC与△ADB，其中两条边AC与AB、AP与AD，都是已知旋转60°的关系，第三边BD与CP自然也是旋转60°的关系，因而两线相等且夹角为60°。

（2）同样地，△ADB与△APC中，AB:AC=AD:AP=√2，且夹角都是45°，可以看成△ADB旋转45°并按1:√2缩小得△ACP，由此推知第三边BD与CP的比亦为√2，所成夹角亦为45°。当然，这是从宏观角度判断，在微观层次的具体方法是证明三角形相似并导角即得结论。

（3）由∠APD=90°，C、P、D共线，可知∠APC=90°，判断点P在以AC为直径的圆上，此圆与直线EF的交点即为所求P点，作图如下。

图中易知PE=CE，∠ACP=∠CPE=∠CAD=22.5°（67.5°），再得CD=AD，设AP=PD=x，则CD=AD=√2x，CP=(√2±1)x，所以AD:CP=√2:(√2±1)=2±√2。

在同一问题中出现的分类讨论，其主体条件不变，只是图形相对位置改变，所以各种情况下的解法具有极强的相似性，只要知其一便可知其二，用“移花接木”法迁移其解法思路即可。如上，即是用一种方法算出两种情况的结果。

例3.（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA=OC=4OB，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

（1）求A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

大思维分析：

苏轼文中有云“画竹，必先得成竹于胸中。”这是成语“胸有成竹”的出处，本意为未画竹子之前，心中已有完整的竹子形态，喻事前做好充分准备，做事有把握。解题也是一样，解题之前，亦要有策略方法在胸，才能运筹帷幄决胜千里。本题主要看第（3）问，要求线段PD，P点与已知抛物线有关，D点与已知直线AC有关，如何利用这两个重要条件呢？在坐标系背景的问题中，我们已经有一个很好的策略，那就是“改斜归正”以充分利用坐标与函数条件。图中PD是斜向线段，只要构造与PD有关的正向线段即可，如下图，过P作垂线构造△PDF，由△PDF∽△AOC知PD:PF=1:√2，即把问题转化为求PF的最大值，这样就变成一个简单问题，用点P、F的坐标表示PF的长度求函数最大值即可。

例4.（2019•贵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE=30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是　．

大思维分析：

本题是动点问题，F为主动点，E为从动点，只需找出两动点之间的关系即可。由题意，∠EDF=60°，DE:DF=1:2，从运动变换的角度看，点E是由点F绕定点D逆时针旋转60°并缩小为1/2，推知点E的路径亦由点F的路径（即AC）绕定点D逆时针旋转60°并缩小1/2，可得点E的运动路径为AC/2=4√3/3。

例5.已知AD是△ABC的中线，E是AC上一点，AD交BE于点F，AE=EF，求证：BF=AC.

大思维分析：

这是一道经典题，若用“倍长中线”之类的末技来解决此题显得肤浅小器，会使思路狭隘机械，难以深入本质。

前文提过，构造辅助线应为构造辅助形，线是为形服务的，形才是根本。若从形的角度思考，就会清晰明了直达本质，大大地提升构造的精准度和速度。

从构造图形的角度思考，可称为“完形构造”，这种方法可以讲清楚构造辅助线的道理，使之从黑箱中显露出来。本题我们可从两个关键条件切入，一是BF与AC的相等关系，通常证线段相等可构造等腰三角形或全等三角形，二是D是BC的中点，可把相关三角形旋转180°或按1:2缩放。

（1）构造一：将BF平移至PC与AC构成等腰三角形，或看成把关键三角形△BDF绕点D旋转180°，当然，这是从宏观角度分析构造方法，在做具体的解题表达时辅助线作法应为过C作CP∥BE交AD延长线于点P，亦可延长AD至P使PD=DF，如下图。

（2）构造二：与法一类似，将AC平移至PB与BF构成等腰三角形，或看成把关键三角形△ACD绕点D旋转180°。

（3）构造三：根据等腰△AEF的对称性，在AE边上补上AP=BF，或看成把关键三角形△ACD按1:2放大为△PCB。

（4）构造四：根据等腰△AEF的对称性，在EF边上补上FP=AC，或看成把关键三角形△BFD按1:2放大为△PCB，与（3）类似。

（5）构造五：由∠CAF=∠BFD，AC=BF，可构造全等三角形，如图作BP=BD=CD，利用“AAS”可证△BFP≌△CAD。

（6）构造六：由∠CAF=∠BFD，AC=BF，可构造全等三角形，如图作CP=CD=BD，利用“AAS”可证△BFD≌△CAP，与（5）类似。

（7）构造七：平移BF至PA，可构造全等三角形。如图把△ACD翻折至△APD， ∠PDC=∠BPD+∠PBD，得2∠BPD=2∠ADP，则∠BPD=∠ADP，所以AD∥BP，得平行四边形APBF，BF=AP=AC。