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基础练习2-完四垂心线⊥牛顿线
一个性质的连环证明...经典结论, 送给挣扎在高联中的你.
本性质需要知识储备: Simson线+完全四边形的牛顿线.
先说定理:
完全四边形, 设, , , 分别为, , , 的垂心, 为其牛顿线, 则.
为了证明该性质, 我们需要以下几步:
证明定理
证明垂心的根心性质
证明共线
证明
(Steiner's Theorem)外接圆上一点, 点的线为, 垂心为, 则线平分.
证明：连接并延长与外接圆交于点,
连接, 与和交于点, .
则注意到
则为的斜边中点.
结合, 关于对称, 则
故, 因此得证!
高线分别为, , . 取三个圆, , 分别经过, , , 则垂心为三圆根心.
证明: (不给画图了,比较简单..)根据
知命题成立.
完全四边形, 设, , , 分别为, , , 的垂心, 则, , , 共线.
证明: 完全四边形密克点设为, 则对四个三角形的线是重合的.
根据前面证明的定理得:
线平分, , , , 故命题证毕!
完全四边形, 设, , , 分别为, , , 的垂心, 为其牛顿线, 则.
证明: 以, , 为圆心, 对应的对角线为直径作圆, 分别记为, , .
注意观察,
发现, , 分别经过其三条高线,
故根据前面的证明, 为三圆根心.
同理, , 也为三圆根心.
则说明, , 为同轴圆,
且.
故证毕!
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