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2016USATSTST后续
今天接着昨天的话题继续说
上一次约定了整理一下最后一步的过程, 同时收到了乌江大师的启发讲最后一步更加简单化, 突然发现这样抽象出来的一题, 恰好作一道高联的第一题再合适不过了~
题目标签: 等角类-内心+中点-2016USATSTST分支
知识储备: 无
先放题目:
的内切三角形为, 取, , 中点分别为, , . 与交于点, 求证: .
首先昨天平行线刘小平老师已经给出一个解答, 最后再给大家整理出来放一起, 先说乌江大师的点拨吧.
先证明一个引理:
引理1: 平行四边形中有一点, 求证下面三个命题等价:
(1).
(2).
(3).
证明: (1)推(2)或者(1)推(3)是一道经典的题目了
由对称性, 我们只需证明一边即可.
下面证明(1)推(2)
将平移到,
则四点共圆,
则
证毕!
(2)推(1)
做法与上面一样, 过程反过来写即可.
再结合(2)与(3)地位的对称性, 得到(2)和(3)的等价性与上面一样平移即可.
引理证毕!
回到原题:
注意到
因此只需要证明即可,
在平行四边形中, 由引理只需证明即可.
注意到
故四点共圆,
因此
故证毕!
证法二:(刘小平)
延长, 分别于交于, .
, .
注意到, 故四点共圆.
结合, 故四点共圆.
由且,
故, 类似的有.
顺便由得到
故
因此, 故
因此在中, 点, 为相似对应点,
因此有得证!
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