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学生习作-郭思远-等腰三角形问题
前天搞了一道五星难题, 今天正好有个学生在学习了曹珏赟老师的课程后, 解决了一道曹老师讲义上没有讲解的题目, 证明蛮好, 故写之~
题目标签: 共圆类- 等腰+平行+直角- 2018中国TST4-3
题目难度:
知识储备: 无
解答作者: 郭思远
先放题目:
△ABC满足AB=AC, D为BC上任意一点, 在边AC, AB上分别取E, F满足DE∥AB且DF∥AB.
圆(AEF)与圆(ABC)交于点G, 在圆(ABC)和圆(AEF)上分别取点L, M满足 ∠LGK=∠MGC=90°.
△DGL与△DGM外心分别 为P, Q. 求证: AQPG四点共圆.
题干就不短啊, 条件很多, 慢慢来做. 本题将分成三个部分解决:
圆穿过的外心.
四点共线.
为等腰梯形.
(思路已经点出来了, 不妨重新试试)
证明圆穿过的外心.
我们选择来证明之.
, ,
.
故命题1.得证!
证明四点共线.
首先注意到, 均在的中垂线上,
其次
故,
因此有
所以也在中垂线上, 点同理.
命题2.证毕!
为等腰梯形.
由前面的证明得到, 故为等腰梯形.
即, 为其中垂线, 则为弧中点. 即
因此只需要证明关于对称即可.
首先设与交于点,
故为直径.
因此
因此,
结合为中垂线, 得为中垂线,
所以, 即
下面再说明即可说明关于对称
注意到为中垂线, 得到,
结合, 得到
但, 故弧弧
故
因此命题3.证毕!
到此原题也随之证毕!
(等腰梯形是共圆的)
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