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基础练习4-欧拉线与外切三角形引理
欧拉线与外切三角形引理-Jean-Louis
接着昨天的Pappus定理的推广写, 仍然是源于一道伊朗的题目, 昨天的Pappus是为了今天的引理作铺垫, 错过了的请移步下方链接:
本引理是我看一个法国的哥们 @Jean-Louis 自己的网站上某一章专门讲解三角形欧拉线相关性质的片段, 这里按照我的思路给大家整理一遍;
知识储备: Pappus定理的推广
引理如下:
外心为, 垂心为, 分别过, 做外接圆的切线, 交点为, 同理构造, , 设关于的对称点为,
证明: , , 三线交于一点;
证明：
设与交于点,
下面证明三点共线;
作分别关于和的对称线,
并交于,
Claim1:
注意到, 为的两外角分线,
故为的旁心,
则圆为其鸡爪圆;
因此三点共线, 且平分
则为中弧中点, 为对径点;
故, 即
Claim2:
因均垂直于BC, 此结论是显然的;
Claim3:
只需证,
即证
而,
故 Claim3 证毕!
回到原题, 注意到:
, , 三点共线;
由定理的推论知, , 三点共线;
变化: 若将上题中构造过程稍加改变, 虽然结论不变但形式上需要敏锐的观察才能证明, 为了巩固一下今日本小题的构型, 出一个等价命题作为练习题给大家思考;
内心为, 内切圆切三边于, , , 的垂心为,关于的对称点为, 证明与交点在上;
若能注意到练习中点是关于三顶点对称的, 则容易得到另外两个角度的共线;
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