四星难题-逆斯坦纳点+完四-读者来稿
新春的洗礼,
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趁青春仍还在
我学会了用回车
写诗
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浮躁的时代
还有人依然记得
趁还没有夭折
我学会了用回车
归来
公众号又开始更新了, 今天先搞一个大作业, 之前收到读者 @夏泠言 的来稿, 一共是两道题目, 他是比较希望能两篇一起发的, 碍于篇幅分成两天来发吧.
本题涉及到的几个读者可能会感到陌生的概念，在涉及到的时候给出供读者了解学习的链接.
题目标签: 四星难题-逆斯坦纳点+完四-读者来稿
知识储备: 逆斯坦纳点及证明+完四性质
解答作者: 夏泠言
题目如下:
△ABC外心为O垂心为H, AO与BC交于点S, OH关于BC的对称点为O'H'.
O'H'与圆O交于点E, ES与圆O交于T, CE与AB交于Q, BE与AC交于R.
证明: AT∥QR.
分析:
首先注意到E的身份为OH的逆斯坦纳点.
https://tieba.baidu.com/p/6183088440?pid=126401728199&cid=0#126401728199
(复制链接到网页打开, 是贴吧的东西~)
结论中AT为圆内一弦, 考虑平行与逆平行 延长TE与QR交于D, 则只需证明BEDQ四点共圆即可;
对完四ABQERC来说, 若结论成立, 则D为Miquel点.
结合存在四点共圆的完四性质(参考Brocard定理构型)
https://wenku.baidu.com/view/5a2480a7d1d233d4b14e852458fb770bf78a3b8e.html
改变D的构造方式:
作OD⊥QR于D, 则D为ABQERC的Miquel点,
则只需证明DES三点共线即可
也就是证明AO, BC, DE三线共点;
注意到AOED四点共圆, 结合根心定理
则设(BQDE)与BC交于F
则只需证AOFB四点共圆即可!
先证明一个引理:
中为外心, 为垂心, 关于三边的对称直线交于点(逆斯坦纳点), 记与交于, 与交于, 交于. 求证: 为的密克点且, , 三点共线.
引理的证明:
故, 同理
故为的垂心,
因此为关于的Anti-Steiner点.
即四点共圆.
则为的密克点;
同时注意到对来说
有, , 三线共点.
证毕!
证明:回到原题
沿用分析的字母,
设(AOB)与BC交于F, 与AC交于G
则AB与CE的交点Q也在FG上,
且E为ABQFCG的密克点;
即BFEQ四点共圆;
设D为ABQERC的Miquel点,
结合ABEC四点共圆得
QDR三点共线且OD⊥QR
即BFEDQ五点共圆;
注意到∠EDR=∠ECA=∠QCA=∠QDA
故∠AOE=2∠ACE=180°-∠ADE
故AOED四点共圆;
观察(AOFB)(BFED)(AOED),
由根心定理得DE, BF, AO交于一点S.
故TSED四点共线;
故∠ATE=∠QBE=∠EDR
即AT∥QR, 证毕!
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