中点训练题9-老师讲义

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今天给大家弄一道学生听的老师讲义上的一题, 没有答案故问之, 解决后故分享之. 难度不大, 可动手;

题目标签: 共圆类- 内心+中点+倍长- 讲义

知识储备: 无

题目如下:

中为内心, 为底边中点, 为弧的中点, 分别倍长, 至, , 连接并设在上投影 为, 求证: 与相切.

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分析:

若命题成立, 延长与切于点,

则有

注意到中有

故应该为中点, 故转化命题:

倍长至, 证明四点共圆即可;

共圆只需要证明

注意到已经有

故即证明即可

(发现顺便消去了R, 是良好的方向)

根据均为倍长所得, 因此只需证即可

以上均为一般点, 因此基本算是做完了!

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先证明一个引理:

中为内心, 为边中点, 为弧中点, 则;

证明: 延长与外接圆交于点,

则易知三点共线,

由鸡爪定理

故

结合

故引理证毕!

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回到原题:

倍长至,

, 分别为内外角分线,

故, 在中有

下面证明四点共圆即可;

即

由引理得

故

故四点共圆证毕!

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