中点训练题8-(群内提问,求题源)
今天这个题有趣啊~是一道qq群里面的题目, 虽然我做的时间长了点, 但竟然还搞出了一些推论. 写出来与大家分享.
今天的题目很有趣啊!!! 最后放个推论~
题目标签: 平分类- 角分线+中点+平行- qq群
知识储备: 常用定理(肯定不超纲)
先放题目:
△ABC中∠A的角分线交外接圆于D, M为BC中点, MN∥AD交外接圆于N, DN与AB, AC分别交于点E和F, 求证: N为EF中点.
这道题目最一开始我是没注意到Simson线的性质的, 最最一开始我以为要证明北极点为图中一个完四的密克点, 但是觉得这样的结论太强了, 且用不上条件, 后来放弃了完四密克点的思路之后重新注意到图中竟然还藏着一条Simson线, 然后剩下的就没啥了! 讲道理啊, 如果没有注意到这个平行的用处是引出Simson线的话, 这道题目难度应该还是不小的.
取出D的对径点S, 则SN⊥ND
设AC与MN交于X
则∠SMX=∠SDA=∠SCX
故SXMC四点共圆,
则∠SXC=∠SMC=90°
⇒SNFX四点共圆
结合∠SFN=∠SXN=∠SCM
故△SNF∼△SMC
这个时候其实题目已经证明的差不多了, 不知道大家到这里看出来关于点S的Simson线了没有? 如果注意到MN为Simson线以后, 根据EF地位的对称性, 那么本题已经证完了, 因此下面完成一些体力活:
MX与AB交于Y, 则由Simson定理得
∠SYE=90°=∠SNE
结合(SEYN)与(SYBM)得到
△SBM∼△SEN
因此得到SE=SF
故SN为EF中垂线,证毕!
等等! 到这里还没有结束, 其实在最一开始我还没有注意到Simson线的时候, 我发现了S为完全四边形EABHCF的密克点, 但是不会证明, 在结论出来之后, 密克点也就可以搞定了;
根据原题的证明, 注意到
因此SEAF四点共圆,
结合SABC四点共圆, 得到S为密克点,
因此得到了SEAF, SEBH, SABC, SFHC均四点共圆;
再结合S点的Simson线的四个共圆, 又可以得到一堆旋转相似, 不在罗列;
那么一就生成了一道更棒的题目:
中, 的角分线交外接圆于, 为中点,交外接圆于, 与, 分别交于点和, 为点的对径点. 求证四点共圆.
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