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垂心训练题8-2018伊朗第三轮G4
还是伊朗
题目标签: 边等类- 垂心+垂直- 2018伊朗第三轮G4
知识储备: 基本定理
(为了避免影响思路, 知识储备处写的基本定理, 其中基本定理包括: Menelaus, Ceva, Simson线, Pascal, Pappus, Ptolemy, Stewart, 九点圆, 蝴蝶定理等)
题目难度: 高联3
题目如下:
中为垂心, 为外心, , 分别为, 在对边上的投影, 为中点, 在上取点满足, 在上取点满足,
求证: .
(吐槽: aops的题干上都没有写点在哪里, 过分!)
分析:
本题中点, 的构造比较奇特, 从结论入手, 证明是四等分点, 则自然取出中点N, 证明为中点即可, 中点直接带出九点圆, 注意到圆心为中点, 则只需证明即可;
到这里开始导角, 发现只需证四点共圆即可, 这个四点共圆就直接把消掉了, 只需说明, 消失之后, 迷惑点就只剩下一个点.
认真分析的构造过程, 在尝试了几个思路之后, 注意到这个垂直的重要性, 观察, , , 这四条线, 发现了一个蝴蝶定理的构型, 延长, 结合圆与圆关于的1:2位似性质, 本题就已经解决了.
下面给出正向的证明过程:
证明:
作九点圆圆与, , 交于, ,
下面证明为中点即可;
延长与, 分别交于,
则在九点圆内, 注意到
由蝴蝶定理得
由圆与圆关于H为1:2位似
得, ,
注意到四点共圆(两直角)
则
故
故
结合,
得
故四点共圆
⇒
⇒,
结合为中点, 证毕!
精彩~
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