内心训练题20-2018xzt16P2

OI连线的简单题, (后有OI小引理)..

(一定要看完啊)

题目标签: 边等类-OI+对称+蝴蝶-2018xzt16P2

知识储备: 基本定理

(为了避免影响思路, 知识储备处写的基本定理, 其中基本定理包括: Menelaus, Ceva, Simson线, Pascal, Pappus, Ptolemy, Stewart, 九点圆, 蝴蝶定理, 鸡爪定理等)

题目难度: 高联1-2

题目如下:

为非等腰三角形, 为内心, 为外心, 为关于的对称点, 过分别作的切线交于点,

证明: 三点共线;

---

分析: 观察图形的对称性, 发现外心明显在OI上, 因此是垂直于的, 这样其实的位置就相对固定了, 题目剩下只需要证明即可.

---

证明:

证明: 重新构造, 设为过的切线与的交点,

则只需证与相切即可,

结合关于对称,

由对称性知的圆心在连线上,

连接, 并与外接圆交于点, ,

与交于, 由蝴蝶定理得,

结合为中垂线, 故,

由对称性得, 故证毕!

---

说明: 做完这个题目以后, 有个学生自己探索了一下, 发现了一个很不错的关于OI对称的小性质, 为了鼓励他, 我整理好与大家分享如下:

---

Lemma(聂伟恒): 设关于的对称点为, 关于的对称点为, 则三点共线;

引理的证明:

,

故四点共圆;

由得

结合,

故,

故,

故

故三点共线;

---

喜欢做题的小伙伴赶紧关注吧，每天会发布训练效果比较好的题目，

适合准备高联的同学们；

有好的想法交流的可以直接在公众号里留言，我看到后会第一时间回复的~

这么好的公众号别忘了推荐给身边的老师和同学

往期文章回顾

（更多请进入公众号菜单中找合集）