其他
基础练习5-彭赛列闭合定理
一个由网友提问引发的定理
彭赛列闭合定理
定理全部内容(百度百科):
平面上给定两条圆锥曲线, 若存在一封闭多边形外切其中一条圆锥曲线且内接另一条圆锥曲线, 则此封闭多边形内接的圆锥曲线上每一个点都是满足这样（切、内外接）性质的封闭多边形的顶点, 且所有满足此性质的封闭多边形的边数相同.
更多关于彭赛列闭合定理的详细的东西大家可以自己去查阅资料, 我们这里只讨论且圆锥曲线退化为圆时的简单情形;
彭赛列闭合定理简明形式:
外心内心分别为, , 则在外接圆上任取一点, , 满足, 均与圆相切, 则也与圆相切;
证明: (此证明来自网络)
由欧拉定理得,
故,
设, 则,
故
故为的内心(鸡爪定理)
证毕!
即时练习:
外接圆与的旁切圆交于, , 为两圆公切线(离点更近), 求证: .
重新构图:
过作圆的切线, 与圆交于点,
过作圆的另一条切线, 切点为,
与圆交于另一点,
下证重合, 即证与圆相切
连接与外接圆交于点,
也就是证明为的旁心即可;
由欧拉定理得
即
设,
注意到,
故
由鸡爪定理得为的旁心;
故证毕!
喜欢做题的小伙伴赶紧关注吧，每天会发布训练效果比较好的题目，
适合准备高联的同学们；
有好的想法交流的可以直接在公众号里留言，我看到后会第一时间回复的~
这么好的公众号别忘了推荐给身边的老师和同学
往期文章回顾
（更多请进入公众号菜单中找合集）