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梯形训练题1-2017伊朗第三轮G2
继续伊朗
今天是2017年伊朗第三轮G2, 一道梯形的题目, 本题是个蛮好的梯形转化角的范例;
题目标签: 角等类- 梯形+ 角等-2017伊朗第三轮G2
知识储备: 无
题目难度: 高联3
(本题前期摸索很吃力, 路子通了就很容易了)
题目如下:
梯形满足且, 在梯形内部, 满足, 与交于点,
求证:
分析:
条件上比较直接的就一个角等和互余的关系, 但是位置上比较分离, 要想办法凑到一起, 比较常见的是利用平行转化成角分线, 因此初步尝试过作平行线:
利用平行关系自然发现平行线与的交点构造出来则出现一组位似三角形, 也就顺便把目标角进行了转移;
现在出现了三个待用的条件: 1. 位似; 2. 为角分线; 3. 有一个互余关系;
利用平行把转移到,
再把2,3结合来看, 构造一个这样就有了, 即四点共圆, 作圆时发现圆心在上..
这时候出现圆心的条件以后, 利用圆心角与圆周角常用的小技巧, 得到四点共圆, 就基本上证完了, 整理一下思路之后写证明;
证明:
作外接圆, 设圆心为,
延长与交于点,
设与圆交于点
故
故与关于点位似
故
因此
故四点共圆;
故,
则
故证毕!
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