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垂心训练题11-另解
旦神的自然流另证
原题链接如下:
垂心训练题11-EGMO2012/7题目如下:
垂心为, 为外接圆上一点且与不在同侧, 关于和的对称点分别为、, 与的外接圆交于点, 求证、、交于一点；
证明: (by 旦兮)
先证明, , 交于一点.
设, 连接, , , , , 及
由于, 关于对称,
则
又, 关于对称,
故
结合两式得, , 共线.
设, 有, , 共线.
连接, , , , 由四点共圆,
故, , 共线.
利用相交两圆的性质结束战斗.
做关于的对称点, 再结合与关于的对称性得:
只需证, , 三点共线即可,
结合
得
故三线交于一点, 证毕!
注:
本证明是想要利用熟知的几何构型(保留原题字母):
"两圆相交于, , 过其中一点做直线与两圆交于, , 过做另一直线与两圆交于, , 则, 并且这个命题反过来也成立."
事实上, 本题还有结论, , 三点共线, 证明不难.
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