垂心训练题11-EGMO2012/7

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题目标签: 共点类- 垂心+对称- EGMO2012/7

知识储备: 无

题目难度: 高联2

题目如下:

垂心为, 为外接圆上一点且与不在同侧, 关于和的对称点分别为、, 与的外接圆交于点, 求证、、交于一点；

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证明:

先做出关于和的对称点入手,

发现、、本来就交于一点(与关于对称)

故修改命题为与外接圆交于点,

求证、、、四点共圆;

因为在的外接圆上,

因此;

因此, 欲证明四点共圆只需要证明即可;

注意到对称性,

因此为等腰三角形,

故只需证明即可;

再次利用对称性：

故证毕！

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