北师大版九上数学4.7 相似三角形的性质 知识点精讲

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知识点总结

6.相似三角形的性质

相似三角形的性质★★★相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

相似三角形性质定理1★★★ 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.

相似三角形性质定理2★★★  相似三角形的周长的比等于相似比.

相似三角形性质定理3★★★  相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

要点解析

1.性质定理1和定理2可以概括为：

相似三角形中对应线段（高、中线、角平分线）及周长的比都等于相似比.

即相似三角形对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长的比=相似比.

在这些比例中，只要知道任何一组线段的比，就可以求出其他对应线段的比.

2.相似三角形的性质3为：相似三角形的面积比=相似比的平方，要防止出现“面积比=相似比”的错误.

如果其中两个三角形相似，它们之间有怎样的性质呢？

相似三角形线段的关系

在相似三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：高线、中线，角平分线。这些对应线段之间有怎样的关系呢？

相似三角形周长和面积的关系

周长比等于相似比 。

面积的比等于相似比的平方 。

【例】一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块三角形和一块梯形，要使切割出的三角形与梯形面积之比为4：5，该怎么切割呢？

同理，当DE平行于AC或AB时，也可以得到类似的结果，因此可以有三种切割方法。

相似三角形的性质

(1)对应角相等，对应边的比相等;

(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;

(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.

(4)射影定理

习题讲析

△ABC的三边之比为3：4：5，与其相似的△DEF的最短边是9cm，则其最长边的长是

A、5cm

B、10cm

C、15cm

D、30cm

解析：

C

试题分析：

由△ABC的三边之比为3：4：5，根据相似三角形的对应边成比例，可得与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，又由与其相似的△DEF的最短边是9cm，即可求得答案。

解：∵△ABC的三边之比为3：4：5，

∴与其相似的△DEF的三边之比为3：4：5，

∵与其相似的△DEF的最短边是9cm，

∴其最长边的长是：15cm．

故选：C．

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．在△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=B′C′．能否分别将这两个三角形各自分割成两个三角形，使△ABC所分成的两个三角形与△A′B′C′所分成的两个三角形分别对应相似？若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由．

解析：

试题分析：

要想让分成的每个三角形分别对应相似．那么唯一的方法就是把各个三角形中的直角进行分割．把∠C分为45°，45°，那么两个三角形的两个角分别为30°，45°；45°，60°，把∠C′分为30°，60°，那么两个三角形的两个角分别为30°，45°；45°，60°，相应的两个三角形都有两角对应相等，那么相似．

试题解析：

如图所示：∵∠C=90°，∠A=30°，∠C′=90°，A′C′=B′C′，
∴∠B=60°，∠A′=∠B′=45°，
又∵∠ACE=∠BCE=45°，∠A′C′F=30°，∠B′C′F=60°，
∴∠A=∠AA′C′F，∠ACE=∠A′，
∴△ACE∽△C′A′F，
∵∠B=∠B′C′F，∠B′=∠BCE，
∴△BCE∽△C′B′F．

（1）若四边形ABCD的对角线AC将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC必平分对角线BD．
（2）写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？

答案

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