北师大版八年级数学下册6.1《平行四边形的性质》知识点精讲
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2.2 不等式的基本性质
知识点总结
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
1、平行四边形属于平面图形。
2、平行四边形属于四边形。
3、平行四边形属于中心对称图形。
性质：（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
复习提纲
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
2.平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的邻角互补，对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分；
3.平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
第二类：与四边形的对角有关
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
第三类：与四边形的对角线有关
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形
常见考法
（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长；（2）求平行四边形某边的取值范围；（3）考查一些综合计算问题；（4）利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行；（5）利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒
（1）平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等；（2）“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。
一、特殊的平行四边形
1.矩形：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形。
（2）性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。
（3）判定定理：
①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
2.菱形：
（1）定义 ：邻边相等的平行四边形。
（2）性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）判定定理：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
（4）面积：
3.正方形：
（1）定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
（2）性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。 正方形既是矩形，又是菱形。
（3）正方形判定定理：
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形；
③对角线互相垂直的矩形是正方形；
④邻边相等的矩形是正方形
⑤有一个角是直角的菱形是正方形；
⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：
1.矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性；正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
2.矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。
三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：
常见考法
（1）利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算；
（2）灵活运用判定定理证明一个四边形（或平行四边形）是菱形、矩形、正方形；
（3）一些折叠问题；
（4）矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。
误区提醒
（1）平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆；
（2）矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆；
（3）不能正确的理解和运用判定定理进行证明，（如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形）；（3）再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘；（3）判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。
【典型例题】（2010天门、潜江、仙桃）正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
(2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
【解析】（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：
连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；
∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，
∴四边形OECF是正方形，
∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，
∴△AMO≌△FOE，
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF.
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：
延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，
∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，
∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE，
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，
∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，
故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同
平行四边形性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等” [2] ）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等” [2] ）
（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补。
（简述为“平行四边形的邻角互补”）
（4）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的对角线互相平分” ）
（6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论）
（7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。）
（8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（9）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点.
（10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是轴对称图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。
（11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三等分，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。
（12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。
（13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。
（14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。
（15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积
平行四边形其他性质
平行四边形的对边是平行的（根据定义），因此永远不会相交。
平行四边形的面积是由其对角线之一创建的三角形的面积的两倍。
平行四边形的面积也等于两个相邻边的矢量交叉乘积的大小。
任何通过平行四边形中点的线将该区域平分。
任何非简并仿射变换都采用平行四边形的平行四边形。
平行四边形具有2阶（至180°）的旋转对称性（如果是正方形则为4阶）。如果它也具有两行反射对称性，那么它必须是菱形或长方形（非矩形矩形）。如果它有四行反射对称，它是一个正方形。
平行四边形的周长为2（a + b），其中a和b为相邻边的长度。
与任何其他凸多边形不同，平行四边形不能刻在任何小于其面积的两倍的三角形。
在平行四边形的内侧或外部构造的四个正方形的中心是正方形的顶点。
如果与平行四边形平行的两条线与对角线并行构成，则在该对角线的相对侧上形成的平行四边形面积相等[7]
平行四边形的对角线将其分成四个相等面积的三角形。
平行四边形判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。
平行四边形辅助线
一、连接对角线或平移对角线。
二、过顶点作对边的垂线构成直角三角形。
三、连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线。
四、连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。
五、过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
平行四边形相关计算
1、（1）平行四边形的面积公式：底×高（可运用割补法，推导方法如图）；如用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则S平行四边形=a*h。
（2）平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值；如用“a”“b”表示两组邻边长，α表示两边的夹角，“S”表示平行四边形的面积，则S平行四边形=ab*sinα。
2、平行四边形周长：四边之和。可以二乘（底1+底2）；如用“a”表示底1，“b”表示底2，“c平”表示平行四边形周长，则平行四边的周长c=2(a+b)。
平行四边形特殊的平行四边形
平行四边形矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形；
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
性质：
1.矩形具有平行四边形的一切性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是90度；
4.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。
平行四边形菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定：
1.一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3.四边相等的四边形是菱形。
性质：
1.菱形具有平行四边形的一切性质；
2.菱形四边相等；
3.菱形每条对角线平分一组对角；
4.菱形是中心对称图形，也是轴对称图形。
平行四边形正方形
定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
判定：
1.一组邻边相等的矩形是正方形；
2.有一个角是直角的菱形是正方形；
3.对角线互相垂直的矩形是正方形；
4.对角线相等的菱形是正方形。
性质：
正方形具有矩形和菱形的一切性质。
图文导学
教学设计
一.教学目标：
知识目标：掌握行四边形的性质，并会用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
能力目标：经历观察、猜想、实验、验证等数学活动，认识平行四边形的性质，发展学生演绎推理能力和发散思维能力，初步形成评价与反思的意识.
情感目标：培养学生勤于实践、勇于探索、合作交流的精神，增强学生学好数学的勇气和信心.
二．学情分析
学生通过对平行线、三角形等知识的学习，已经具备了一定的推理能力、合作与交流的能力，但严密的逻辑思维能力和规范语言表达能力稍有欠缺。如何引导学生把平行四边形的问题转化成全等三角形的问题来研究，我通过“引导—探究—辅导—指导—讲评—归纳”的方法，有目的的辅助学生学习。
1．利用直观形象的图片、模型，引导学生在观察、操作、猜测、验证与交流等数学活动中发现平行四边形的性质。发挥学生的观察能力、联想力，大胆猜测平行四边形的可能性。
2．注重学生参与，合作交流，让学生在教师的指导下自始至终处于积极思维，主动探究的学习状态，同时借助多媒体进行演示，以增加教学的直观性。
三．重点难点：
1.平行四边形性质的探究及其应用
2.平行边四边形的对角线互相平分这一性质的探究
四．教学过程：
一．创设情境，导入新课
1.想一想：全等三角形有哪些性质？
2. 用两个全等的三角形的纸片，你能拼出几种不同的四边形？你能把这些四边形分成两类吗？
二．探究新知识
1.观察与思考：
拼成的这一组四边形有什么特点？得出平行四边形的定义
定义：两组对边分别平行的四边形，叫平行四边形。
如何用数学语言把这个定义表示出来呢？
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴AB∥CD，AD ∥BC。
∵AB ∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形。
2.探究与思考：
（1）.平行四边形的两组对边和有什么特点？你能用数学方法来证明吗？
平行四边形的性质一：平行四边形的两组对边平行且相等
用数学语言怎么表示呢？（结合上面的图形）
∵四边形ABCD是平行四边形。
∴AB∥CD，AD ∥BC。且AB＝CD，AD＝BC
（2） .平行四边形的两组对角有什么特点呢？自己试着证明一下
（3）.练习：
例1：如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？
例2：在中,已知∠A=52 °，求其余三个角的度数。
3.探究二：
动画演示：平行四边形绕对角线的交点旋转180度，有什么现象，你发现了什么？你能用数学方法证明吗？
结论：平行四边形的对角线互相平分。
用数学语言怎么表示呢？
想一想：平行四边形有哪些性质？
1.平行四边形的对边平行且相等。
2.平行四边形的对角相等。
3.平行四边形的对角线互相平分
三．巩固与练习
1.学校买了四棵树，准备栽在花园里，已经栽了三棵（ 如图），现在学校希望这四棵树能组成一个平行四边形，你觉得第四棵树应该栽在哪里？
2.想一想：学校里有一块三角形的花池，现在要想把花池的面积扩大为原来的4倍，你能做到吗？（扩大后的花池仍然是三角形）
3.你来评一评
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
4.学以致用：
（ ），（ ），若AD+BC＝30cm,的周长是96cm，则AB＝（ ），BC＝（ ）。
2.（ ），（ ）。
3.（ ）。
四．小结与反思
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？
2、 平行四边形的性质共有哪些？
五．作业：课本3、4题
六.教学反思：
学生的数学知识不是“听”出来的，而是“做”出来的，是“探究”出来的，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式，因此，我在教学设计过程中，注意把学生的活动设计放在首位，把知识教学融于活动中，使数学教学成为数学活动的教学。
学生利用两个全等的三角形进行拼图活动，不但激起了学生学习的兴趣，而且降低了研究平行四边形性质的难度，收到了较好的教学效果。
利用多媒体课件进行展示：平行四边形绕对角线的交点旋转180度，一目了然，增强了学生的感性认识，然后让学生用数学推理的方法加以证明，促进了学生的理性思考，巩固了学生的认知，使学生的认知得到了提升。
当然，这节课也有不足之处，由于时间的限制，没有引导学生从平行四边形的边、角、对角线等方面与一般的四边形进行比较，那样的话，不但引导学生探究了新知识，更教给了学生探究知识的方法，为下面的学习打下基础。
课堂总不是尽善尽美的，而是一种遗憾的美，在数学教学的路上，我们只有不断思考，不断探究，才能打造出列多精彩的数学课堂。
给初中阶段的孩子学习建议：数学多"问"，语文多"看"，英语多"听"！
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