为什么要一题多解

我们提倡一题多解，因为一题多解有很多好处：

第一，可以巩固所学知识和方法。

第二，可以训练思维的灵活性和发散性。

第三，可以从多解中寻求联系发现本质。

所以，我们在一题多解时不能为了多解而多解，最重要的是要把多解归一，有所创造，有所发现。

我们看一道经典题目：

如图，AM∥BN，求∠APB、∠PAM、∠PBN三个角之间的数量关系。

解法（1）作PQ∥AM，由∠APB+∠APQ+∠BPQ=360°、∠PAM=∠APQ、∠PBN=∠BPQ得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（2）作PQ∥AM，由∠PAM+∠APQ=180°、∠PBN+∠BPQ=180°得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（3）连接AB，由∠BAM+∠ABN=180°、∠APB+∠PAB+∠PBA=180°得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（4）作AQ与BN交于Q，由∠QAM=∠AQB、∠APB+∠PAQ+∠PBN+∠AQB=360°得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（5）类同于解法（4）。

解法（6）作QR与AM、BN交于R、Q，由∠ARQ+∠BQR=180°、∠APB+∠PAM+∠PBN+∠ARQ+∠BQR=540° 得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（7）延长AP、NB交于Q，由∠PAM+∠AQN=180°、∠PBN=∠AQN+∠BPQ=(180°- ∠PAM)+(180°- ∠APB)、得∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

解法（8）类同于（7）。

多解不是目的，归一才见本质，我们辛苦找寻各种解法是为了获得各种方法的共同本质和一般方法，以顺利解决其它同类问题。

比较分析发现，上述方法可以分两类：一是构造平行线，二是构造多边形。平行线可以过点P向两个方向作，多边形可以作两条平行线的截线来得到，如下图。

当截线移动到下图位置时，五边形APBQR是凹多边形，其内角和公式与凸多边形的计算公式是一样的，只不过其中有大于180°的角（优角）。

由∠ARQ+∠BQR=180°、优角∠APB+∠PAR+∠PBQ+∠ARQ+∠BQR=540°  得(360°-∠APB)+(180°-∠PAM)+(180°-∠PBN)+180°=540° 得 ∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

我们进一步思考上述两类方法的共同原理：构造平行线可以利用平行线的性质获得有关角的关系，构造多边形可以利用多边形内外角性的获得有关角的关系但同时必须利用平行线的性质，两类辅助线的共同点是构造与平行线相交的截线。

任意一条截线都行吗？如下图，随意作一条截线是不是也可以？

答案是肯定的，由∠R=∠BQR、∠PSQ=∠PAM-∠R、  ∠APB+∠PBN+∠PSQ+∠BQR=360°  得∠APB+∠PBN+(∠PAM-∠R)+∠R=360° 得 ∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

我们还可以换一种视角来看：射线AM、BN若相交于一点Q，则四边形APBQ的内角和为360°，即∠APB+∠PAM+∠PBN+∠Q=360°，因平行线的夹角∠Q=0°，所以∠APB+∠PAM+∠PBN=360°。

我们发现作截线的根本原因：截线是联系条件“平行线”与结论“三个角"的重要途径。

解决问题也就是条件的有效利用，当条件中的已知关系与结论中所求关系产生联系时，问题便告解决。这是解决问题的总策略！

我们来使用这一策略解决一个问题：求五角星中五个角的和∠1+∠2+∠3+∠4+∠5。

题中的条件只有多边形，所以只有把五个角转化到一个或若干多边形中，利用多边形的内外角性质求出角度。

如下图，任选一个三角形，∠1+∠α+∠β=180°，又∠α=∠1+∠4，∠β=∠3+∠5，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°。

如下图，我们再选一个五边形，∠α+∠β+∠γ+∠θ+∠φ=540°，又∠α=∠2+∠6，∠β=∠1+∠10，∠γ=∠5+∠9，∠θ=∠4+∠8，∠φ=∠3+∠7，且∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=360°，得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=180°。

还可以选择其它多边形如下图，读者自证。

一题多解，多解归一，做一题，通一类，这是提升解题能力的根本之道，如此才能使知识和思维持续生长！

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