有为的青年教师何睦：高中数学章节起始课教学价值的实现----基于教学实际的视角

Original 和睦文卫星数学生态课堂 2022-07-17

本文发表于《数学通讯》（下半月）2018年3月刊

开号宗旨:为数学教师提供交流、学习、研究的平台，既关注高中数学解题研究，也关注教法和学法研究。

文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

欢迎朋友们来稿！来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式。特别欢迎原创文章。只接受word版式的电子稿，文责自负。投稿邮箱： wwxwxh@163.com

何睦，中小学一级教师，教育硕士，张家港市学术带头人，张家港市学术指导团专家组成员。2018年苏州市基础教育教学成果奖（基础教育类）一等奖获得者，曾获张家港市优秀高三数学教师、局级优秀共产党员等称号。工作9年来，已出版专著《高中数学章节起始课的教学研究与案例设计》，在国家级核心、省级期刊发表教育教学论文近50篇，其中10篇文章被中国人民大学报刊复印资料《高中数学教与学》全文转载，同时还指导近20位学生在国家级刊物发表小论文17余篇。主持江苏省教育科学“十三五”规划2018年度青年专项重点资助课题和苏州市基础教育前瞻性教学改革实验项目的研究。撰写的案例《数学章节起始课：从惑到识》获得全国教育指导委员会教育硕士专业学位案例库的入库资格。

高中数学章节起始课教学价值的实现

——基于教学设计的视角

何睦

随着2001年《义务教育数学课程标准（实验稿）》的颁布，我国新一轮数学课程改革由此拉开了帷幕.随之出现的是基于课程标准的不同教材，实现了从“一纲一本”到“一纲多本”的历史跨越. 无论是哪个版本的教材，都有一个相似的设计，即教科书在每一章的起始都有一段话——章头语，还有与内容配套的图片——章头图，有的教材还有与之相应的名人名言和诗词. 这些内容与一般数学教学内容不同，不是以单独课题出现，而是放在一章之前，成为一章的起始内容. 于是，伴随着新课程改革和教材的变革，产生了一种新的课型：基于章节起始内容的数学教学课——章节起始课. 因此，章节起始课的教学研究是贯彻新课程理念的研究议题，同时也是新课程改革的迫切要求. 文[1][2][3]则是笔者近年来在章节起始课上所作的有益探索、实践与反思.

高中数学章节起始课的教学价值必须依托教学设计才能得以实现，因此，教学设计是章节起始课教学价值得以彰显的重要行为. 教学设计是一种高度概括了的教学过程的操作程序或内容结构，是在一定数学教育思想指导下，以实践为基础而生成的. 因此，教学设计方法的选择，应该随着教学内容和教学主题的变化而有所差异. 我们常说，教学有法，但无定法，章节起始课的教学设计方法也必将受到教师本身的素质、学生的知识水平和能力结构、教师教学风格等因素的影响. 因此，本文并不试图总结章节起始课普适的教学设计方法，仅结合笔者这几年的教学实践给出章节起始课教学设计的若干视角，为章节起始课的教学设计提供若干可能.

一、章节起始课教学设计的视角

1.1 基于“历史发生原理”的视角

19世纪，数学史与数学教育之间的关系已经受到欧美数学家和数学教育家的关注. 1972年，在ICME-2上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组，简称HPM，今天我们通常也将数学史与数学教育关系这一学术领域本身称为HPM. 数学史对数学教学具有积极作用，已逐渐被数学教师群体和数学教育工作者所接受. 华东师范大学汪晓勤教授等学者总结了四种数学教学中运用数学史的方式，即附加式、复制式、顺应式和重构式. 其中重构式是指借鉴或重构知识的发生、发展历史，采用“历史发生教学原理”，重演概念发生过程中的关键步骤. 历史发生教学原理是HPM视角下数学教学设计的主要理论依据. 发生教学法是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程的教学方法，但在数学课堂教学中呈现的发生过程应是其发展的一个课堂浓缩，只要能体现主题发生、发展过程中的关键步骤，渗透概念发生、发展过程中火热的思考过程即可. 陈碧芬等老师认为，可以以下述步骤实现数学史的“重构式”教学.

（1）梳理所教主题的历史；

（2）理解所教主题历史进化的主要步骤；

（3）重构关键思想或步骤；

（4）问题驱动设计教学.

因此，HPM视角下采用“重构式”的方法进行章节起始课的教学设计时，教师首先应当查询各种关于主题历史的素材，参考各种数学类著作，用以把握章节主题的发展历史及其演变进程. 在课堂教学中可以问题链和工作单的形式呈现本章主题发生、发展过程中的关键思想或基本步骤，让学生沿着数学家的足迹，一步步地经历数学知识的发生、发展的完整历程，这样不仅有助于学生良好知识结构和认知结构的完善和发展，还能提高学生学习积极性和学习兴趣. 文[1]则是笔者基于“历史发生原理”视角从事章节起始课教学设计的一个具体案例.

1.2 基于“数学思想方法”的视角

数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂. 数学离不开数学思想方法，数

学教学更离不开数学思想方法的教学. 随着新一轮数学课程改革的不断推进，数学思想方法的教学已经成

为数学课堂教学的一个重要环节. 文[3]是笔者对一节基于“数学思想方法”视角的章节起始课进行的相关分析和讨论，总结了基于“数学思想方法”视角下的章节起始课的设计路径：

（1）立足理解，挖掘思想.“三个理解”是从事一切数学教学活动的基础：理解学生，学生在此以前学过哪些与本章有联系的知识，学生积累过哪些与本章有联系的数学思想方法和与之相应的数学基本活动经验？理解教学，教学中应渗透哪些数学思想方法？如何渗透？理解数学，本章的数学本质是什么？从数学角度来看，本章理应渗透怎样的数学思想方法？

（2）教学示范，范式引领. 著名数学教育家弗莱登塔尔在《数学教育再探》中提出“行动的范例”的概念. 他指出，一种行动以作为另一种行动的范例，它可能会引起类似的行动. 学生通过一个个数学思想方法如何具体应用的例子，自主建构对数学思想方法的理解，对应用数学思想方法解决问题的理解，不断地积累运用思想方法解决问题的基本活动经验.

（3）情境迁移，经验提升. 教师应解释并示范各种数学思想方法应用的实例，然后鼓励学生运用数学思想方法尝试解决一些新的问题. 学生在学习过程中不断的使用数学思想方法，使得数学思想方法能得到不断的巩固和深化. 这不仅有效地帮助学生自主建构对数学思想以及运用数学思想方法解决问题的理解，还能帮助学生不断积累和提升运用数学思想方法解决问题的基本活动经验，使得学生完全有能力将习得的数学思想方法迁移至其他问题情境之中，研究和解决一系列新的问题.

1.3 基于“数学知识逻辑”的视角

“知识逻辑回答教什么的问题，它是教学系统中最实质性的要素.”因此，数学教学逻辑首先是数学知识的逻辑. 但是知识逻辑是具有隐蔽性的，它无时无刻不在，可是如果不去研究就看不到它. 这种隐蔽性源于教学过程中为了满足课堂教学的需要，相互联系具有逻辑关系的知识被分解成知识点或以章节为载体的知识块，原有的逻辑关系被人为地割裂开了. 章节起始课可以对本章的数学知识或者教材关于本章数学知识体系的编写思路进行教学法的简单加工，让学生在情境中获得知识的内在逻辑和教材编写的逻辑线路.这不仅有助于帮助建构完整的数学知识体系，从而形成学科的“大观念”. 基于“数学知识逻辑”视角进行章节起始课的教学设计应遵循下述路径：明确章节数学知识之间的逻辑关系，并依据对知识逻辑的理解和认识，进行一定的教学法加工，以“数学知识是什么？——本章的数学知识是按照什么样的逻辑展开的？——本章的数学知识有什么用？”的线路展开教学，以问题链的形式一步步的推进知识逻辑的展开，结合本章数学知识的实际应用，在帮助学生建构数学知识结构的同时也能很好的建立起章节知识的“大观念”.

基于“历史发生原理”、基于“数学思想方法”、基于“知识逻辑”的章节起始课教学设计的三个视角，是笔者长期教学实践和研究的基础上加以提炼和总结的，是被实践了的并认为是行之有效的教学设计视角.

笔者在文[1]和文[3]中提供了前两种视角下的设计案例，本文再尝试给出基于“知识逻辑”视角的设计案例.

二、章节起始课的教学案例——“统计”

限于篇幅，本文仅呈现具体的教学过程.

教学过程I：本章要研究什么样的数学主题？这个主题的数学知识是如何展开的？

活动1：拿到“统计”这个标题，结合你们在小学或者初中谈谈你对这个标题的认识.可以谈谈你们学了哪些统计的相关知识，可以谈谈学了统计有什么用，也可以谈谈统计学的实际应用？

活动2：仔细观察“统计”章节的章头图，回答下列问题：

（1）教材的章头图展示的是什么内容？

（2）如果我们要研究施用某种新化肥后这片小麦田产量的变化情况，以了解这种新化肥是否研制成功.但如何对这片小麦田的小麦进行研究呢？

类似的问题还有很多：（教材章头语）

灯泡厂要了解生产的灯泡的使用寿命，需要将所有灯泡逐一测试吗？

保险公司为对人寿保险制定适当的赔偿标准，需要了解人口的平均寿命，怎样获得相关数据？

国际奥委会2003年6月29日决定，2008年北京奥运会的举办日期将比原定日期推迟两周，改在8月8日至8月24日举行.原因是7月末8月初北京地区的气温高于8月中下旬.这一结论是如何得到的呢？

可见，现实生活中存在大量类似的问题，如国家经济运行状况、人口普查、市场调查及天气预报等.

（对所有小麦都进行调查研究显然不那么现实，既费时又费力，因此，我们需要对小麦田中的小麦进行抽样调查.那么，是随便抽取一部分小麦作为样本进行研究呢，还是按照科学的方法进行抽样调查呢？因此，统计学首先要解决的是科学抽样问题. 本章的第一节首先介绍若干科学的抽样方法：简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法.）

（3）有了样本，但是样本的数据是杂乱无章的，不便于分析和研究.接下来应该考虑什么问题？（需要考虑如何对杂乱无章的数据进行科学、合理地整理和收集，因此，本章的第二节介绍常见的几种整理数据的方法：频率分布表、频率分布直方图、折线图、频率分布密度曲线以及茎叶图，这些内容构成了总体分布的估计.）

（3）样本有了，数据也整理好了，最后就需要对整理好的数据进行分析了，我们可以采用一些数学统计的专业量数和函数来分析数据，那么可以用哪些专业量数和函数来分析和研究我们搜集来的数据，并对一般情况加以估计呢？（本章的第三部分介绍一些常见的专业量数，用以分析搜集的数据，分别是：平均数、极差、方差、标准差以及线性回归方程，这些内容构成了总体特征数的估计以及线性回归方程.）

活动3：归纳和总结“统计”知识的逻辑线路图.

抽样方法——总体分析的估计——总体特征数的估计——线性回归方程

【设计说明】基于知识逻辑视角的章节起始课，将本章的数学知识或者教材关于本章数学知识体系的编写思路进行教学法的简单加工，让学生在情境中获得知识的内在逻辑和教材编写的逻辑线路.本过程的教学设计通过引导学生观察章头图，阅读章头语，让学生感知整章数学知识的概貌，这有助于帮助建构完整的数学知识体系，从而形成学科的“大观念”.

教学过程II：为什么要研究这个主题的数学知识？

活动4：统计学的应用

案例1 统计在日常生活中的应用

统计与人们日常生活息息相关，统计的影子在我们的日常生活中无所不在，无时不有. 实际上，我们都在自觉不自觉地利用统计. 例如，当人们煮饺子的时候，为了检查饺子是否已经熟了，通常都会捞起一个尝尝，这就是无形的应用了统计学中“抽样调查”的原理，再如气候，就是“平均”天气的长期特征.我们使用大陆的、内地的、海洋的等术语来描述一个地区的气候.每一个术语都隐含地描述了年平均温度、季节性温度变化范围、年平均降水量、地面有积雪覆盖的平均天数等.
案例2 统计在军事中的应用

第二次世界大战期间，美国在日本领土上投原子弹的重大事件. 大家知道日本是唯一的原子弹受害国，但大家未必知道“统计”与它的关系. 当时美国想登陆日本，但日本在海岸线布置了很多地雷，美国不敢轻易登陆，于是就想找一种方法破雷.欧洲有一种用飞机投炸弹的方法，但效果不好. 一位叫菲利普·沃伦·安德森的统计学者设计了另外一种方法，但不知道这种方法破雷效果如何，不能直接派兵去试. 于是他做了一个计算机模拟，发现效果不好. 最后美国决定用原子弹. 如果没有安德森，也许美国会直接派兵，那将会有很多伤亡.

案例3：一些统计学陷阱

随着社会环境的日益恶化，统计陷阱比比皆是. 在信息不断膨胀的现代社会，人们必须了解统计的基本知识应对生存环境的不断变化，尤其需要了解一些如何防止上当受骗的统计常识，以免自己掉进各种各样的统计陷阱之中. 以下是一些常见的统计学陷阱

（1）平均数陷阱

平均数在生活中的应用无处不在.然而，平均数使用不当，将会让人陷入平均数陷阱.平均数反映的是事物整体的状况，而掩盖了个体之间的差异，有时候很难反映问题真实的一面.

小陈大学毕业了，他需要自己找一份合适的工作. 一天，他看到一个小工厂的招工启事.其中工资一项工厂承诺：所有人员平均工资一个月1200元.小陈觉得这个报酬还可以，于是去应聘并成为这个小工厂的一员.工作一个月后，小陈领到了工资，只有800元.气愤的小陈去找厂长问原因. 厂长解释说：我们厂里共20个人，我是厂长自然拿得多些，我每个月4000元，4个管理人员呢，每人每个月2000元，剩下15个像你一样的工人每人每个月800元，你算算看，4000 +4 *200 +15 * 800= 24000元，这是20个人每个月的工资总额，每人的平均工资是1200元.我们的招工启事上就是这样承诺的，一点错也没有呀. 厂长的计算没有差错，招工启事上的说法也是对的，问题出在糊涂的小陈掉进了“平均数”陷阱.

案例2 百分数陷阱

西方某位学者说过，“在没有百分数的世界里，必定是一片混乱”，我们现实生活中，尤其在经济生活中，根本不可能摆脱百分数.百分数正如一个望远镜，它既可以吧小东西变成大东西，也可以把大东西变成小东西.如果我们没有正确地使用，那么就有可能掉进百分数的陷阱. 第二次世界大战中一个雷达小组由7名技术人员组成，由于工作繁忙，压力大，大家精神非常紧张.雷达小组的军官一再向上级机关请求加强力量，可一直没有结果.但当其中一名成员的精神崩溃时，这位军官只是非常言简意赅地报告：“14%的人员由于过重的负担而变得精神恍惚，甚至出现精神错乱的现象.”由于这份报告，这位军官得到了比他原本能得到的多得多的人员，用来充实雷达小组的力量.

案例3 样本有偏陷阱样本有偏，通常包括样本太小、样本以偏概全（不具代表性）等情形.在现实生活中，人们通常会有意无意地选择偏向于有利于自己利益或观点的有偏样本说事，而对不利于自己的样本有意地将其以往或掩盖，这种现象非常普遍.欧拉、高斯、庞加莱，他们三人当中一个是18世纪的世界头号数学家，一个是19世纪上半叶的世界头号数学家，还有一个是19世纪下半叶的世界头号数学家，他们都是4月出生的.此外，20世纪的克莱茵、E•嘉当、科尔莫戈罗夫、哥德尔、阿蒂亚、香农（信息论之父）、怀尔斯（费马大定理解决者）等一流数学家，也都是4月份出生的，约占20世纪大数学家的四分之一强.1936年到1986年的20位菲尔兹奖得主中，4月份出生的竟有9个，占30%.我们是不是应该得出结论：4月出生的人成为数学家的可能性比较大？这里的问题仍然出在样本太小，如果人数足够多，那么才有可能给予肯定的回答.活动5：阅读完统计应用的案例赏析及真理与统计相遇的案例赏析，结合本章的章头语，再来谈谈你对“统计学”的认识，可以谈谈你的收获，可以谈谈你对统计这章有了一个怎样的认识，或者可以根据刚才的案例分享在你身边的一些统计陷阱或者统计知识的具体应用.

【设计说明】教学过程III中的若干活动，通过搜集若干统计在日常生活中以及在军事中的运用，引导学生体会统计学的应用价值.通过揭露一些常见的统计常识骗局，引导学生认识到学习统计学的重要性，在基于互联网的大数据时代，我们必须了解统计学的基本知识以应对我们周围的世界，以免掉进一些陷阱之中，利于提高学生的学习积极性和学习兴趣.过程的最后是课堂小结，让学生主动的说自己本节课的收获，不拘泥于发言的内容，可以谈自己的学习体会，可以谈自己对统计学产生的新的认识，更可以和我们分享自己身边的一些统计骗局或者统计的具体应用.从不同的角度和方面加强知识的应用价值观念的渗透，也可以不断的增强学生学习的积极性，还能促成学生良好知识结构、认知结构的形成、完善和发展.

我们常说，教学有法，教无定法. 虽然笔者以长期教学实践和理论研究为基础给出了设计章节起始课的若干视角，但章节起始课是否还有其它的上法？其它上法的理论基础是什么？教学研究永无止境，章节起始课的教学还会有更多有价值的问题值得进一步探讨和研究.

参考文献

[1] 何睦.“历史发生教学原理”视角下章节起始课教学的建构与反思—“以函数的概念为例”[J]. 中国数学教育, 2014(6): 34-38.

[2] 何睦. 高中数学章节起始课的教学研究[J]. 数学通讯（下半月刊）, 2017(7): 20-24 .

[3] 何睦，梁付元. 有效的高中数学章节序言课的教学—基于樊亚东老师录像课“不等关系”的研究[J].中学数学月刊, 2017(2):25-27.

[4] 汪晓勤. HPM的若干研究与展望[J].中学数学月刊, 2012(2): 1-3.

[5] 陈碧芬. 数学史“重构式”融入小学数学教学的研究[J].课程••教材•教法, 2017(1): 69-74.

[6] 弗莱登塔尔著, 刘意竹, 杨刚等译. 数学教育再探[M]. 上海: 上海教育出版社, 1994.