2020年南开大学数学分析考研真题及解答
2020年南开大学数学分析考研真题及解答
一、计算极限
二、判断函数
在区间上的一致连续性，并说明理由。
三、设, 讨论广义积分
的条件收敛和绝对收敛性。
四、计算级数
的和。
五、求函数
在闭区域
上的最大值和最小值。
六、设在区间上可导，在上三阶可导，且
证明：存在使得.
七、设为的有界闭区域，其边界由有限个逐片光滑曲面构成，函数在上恒为零，记
证明：对于任意, 成立不等式
一、解：
在乘除位置，等价无穷小(大)可以替换，因为, 所以
泰勒公式在求极限中有用
所以
因此
由于
(大家可以看出为什么写三阶泰勒公式，原因九是分母是3阶无穷小) 洛必达法则涌上来，得到
同理
所以
本题也有先把分子提取，再对其应用洛必达法则的方法，简单一些吧，你尝试一下。
二、解：
知识点： 求函数渐近线方法
（1） 垂直渐近线求法
则为函数的垂直渐近线。
（2） 斜渐近线求法
存在且
存在，则为渐近线。
定理： 设在区间上连续，. 则咋i区间上一致连续。
证明： 任意给, 由条件及柯西准则，存在使得
所以
而在上连续，按照Cantor定理，它一致连续。所以存在, 使得
取
当且时， 则必有
否则推出矛盾。
如果 必有
如果,必有
综上所述，按照定义，函数在区间一致连续。
对于函数
我们可以计算
按照定理，该函数在区间一致连续。
三、解：
令
因为
从, 容易知道最终单调减少，且 .
对于任意, 成立
由Dirichlet判别法知道
因为
同上面得到
但是
因此
故
从而
四、解：
因为
根据幂级数的性质，求导得到
所以
取得到
根据幂级数的性质，从0导积分得到
取得到
综上得到
五、解：
求函数在圆内 的驻点，令
则 得到
解方程组得到驻点
这四个点函数值分别为
在求圆边界上函数的极值，边界参数方程
在边界上目标函数变为
则
其驻点满足
这两个点对应的函数值分别为
比较大小得到 函数在圆盘上的最大值、最小值分别为
分别在点
六、证明：
对积分
进行换元, 则条件化为
则
于是
因为连续，所以存在 使得
作辅助函数
容易计算
对函数在区间分别使用Rolle定理，存在使得
由于
再对函数在区间分别使用Rolle定理，存在使得
对函数在区间使用Rolle定理，存在使得
而
所以【证明完毕】
七、证明：
知识点： 计算三重积分的基本方法之一即把三重积分化为一个二重积分和一个定积分的累次积分，用到积分区域投影法。
不妨假设可以用三种投影方式表示,即
所以
计算第一项积分,凑微分，用分部积分法，得到
同理得到
因此得到
【证明完毕】
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