尖子生之路[七上系列]——一元一次方程（28） ——一元一次方程的实际应用（18）——日历与年龄问题

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建议阅读：

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初中三个年级上下学期培优提高系列汇总（按章节）（至18年7月2日止）

一元一次方程的实际应用（18）

——日历与年龄问题

【例1】现将连续自然数1～2018按如图方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出4个数（如图所示），若这4个数的和是216，求这4个数分别是多少？

【分析】设最小的一个数是x，则其余三个数分别是x+1、x+7、x+8，相等关系：四个数之和为216．

【解】设最小的一个数是x，则其余三个数分别是x+1、x+7、x+8，依题意，得：x+x+1+x+7+x+8=216，

解得x=50，

∴x+1=51；x+7=57；x+8=58．

答：这四个数分别是：50、51、57、58

【例2】观察某月日历，回答下列问题：

（1）观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论．

（2）小强一家外出游玩了5天，这5天的日期之和是75，小强一家是几号外出的？

【分析】（1）仔细观察图形中的各日期上下左右之间的关系；

（2）设小强一家x号外出。相等关系：这5天的日期之和是75．

【解】（1）①上下相差7；②左右相差1．

（2）设小强一家x号外出，依题意，得：

x+x+1+x+2+x+3+x+4=75，

解得：x=13．

答：小强一家是13号外出．

【例3】类比探究：

（1）已知图1是某月的月历，带阴影的框中的4个数均满足“对角线上的两个数和相等”．

理由：设阴影框左上角的数为x，则阴影框中的4个数可分别表示为：

x	x+1
x+7	x+8

∵对角线的和分别为：

x+(x+8)

=2x+8(x+1)+(x+7)=2x+8．

∴x+(x+8)=(x+1)+(x+7)．

∵x可取日历中的任何数值．

∴阴影框中的4个数均满足对角线上的两个数和相等．

（2）请你根据上述的探究过程，猜测图2中带阴影的方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系，并说明理由．

（3）如图3，对于带阴影的框中的4个数，你能得到什么结论？请你说明理由．

【分析】类似（1）的分析．

【解】（2）9个数之和为：

3+4+5+10+11+12+17+18+19=99，

99÷11=9，则方框中9个数之和为方框正中心的9倍；

（3）不改变带阴影的方框的大小，将方框移动位置，关系不变．设正中心的数为x，则9个数之和为（x﹣8）+（x﹣7）+（x﹣6）+（x﹣1）+x+（x+1）+（x+6）+（x+7）+（x+8）=9x，9x÷x=9.

所以移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍．

【例3】把正整数2，4，6，8，…，2020按如图方式排列成一个表．

（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是　　　，　　　，　　　；

（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于440吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．

【分析】（1）认真观察图表可得这四个数之间的数量关系；

（2）根据（1）表示出的4个数相加为244建立方程．

【解】（1）∵记左上角的一个数为x，

∴另三个数用含x的式子表示为：x+2，x+8，x+10．

（2）不能．理由如下：

当x+(x+2)+(x+8)+(x+10)=244，

解得x=105．

∵105不是偶数，

∴它们的和不会等于440．

【练习1】把正整数1，2，3，4，…，2009排列成如图所示的一个表．

（1）用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x，另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是　　，　　，　　．（2）在（1）前提下，当被框住的4个数之和等于416时，x的值是多少？

（3）在（1）前提下，被框住的4个数之和能否等于622？如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理由．

【解】（1）从表格可看出框的4个数，左右相邻的差1，上下相邻的差7，

设最小的数是x，右边的就为x+1，x下面的就为x+7，x+7右边的为x+8，所以这三个数为x+1，x+7，x+8；

（2）x+（x+1）+（x+7）+（x+8）=416，4x+16=416，x=100；

（3）被框住的4个数之和不可能等于622x+（x+1）+（x+7）+（x+8）=622

4x+16=622，x=151.5，

∵x是正整数，不可能是151.5，

∴被框住的4个数之和不可能等于622．

【练习2】如图是2015年12月月历．

（1）如图,用一正方形框在表中任意框往4个数,记左上角的一个数为x,则另三个数用含x的式子表示出来,从小到大依次是　  ,　  ,　  .

（2）在表中框住四个数之和最小记为a₁，和最大记为a₂，则a₁+a₂=　　.

（3）当（1）中被框住的4个数之和等于76时，x的值为多少？

（4）在（1）中能否框住这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．

【解】（1）由图表可知：左右相邻两个数差1，上下相邻的两个数相差为7，左上角的一个数为x，则另外三个数用含x的式子从小到大依次表示x+1；x+7；x+8；

（2）∵当四个数是1，2，8，9时最小，a₁=1+2+8+9=20；

当四个数是23，24，30，31时最大，a₂=23+24+30+31=108，

∴a₁+a₂=20+108=128．

（3）由题意得，x+x+1+x+7+x+8=76，解得x=15，

答：当被框住的4个数之和等于76时，x的值为15；

（4）不能．理由如下：

当x+x+1+x+7+x+8=92，解得x=19，

故由此框住的四个数应是19，20，26，27，但是19，20不在同行的相邻位置，所以不能框住4个数的和等于92．

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