纯函数相关综合（8）（2019版）——压轴系列[尖子生之路]

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纯函数相关综合（8）（2019版）

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【2019年厦门一中二模】对于自变量为x的函数，当x=x₀时，其函数值也为x₀，则称点(x₀，x₀)为此函数的不动点．若函数y=ax²+bx+c（a>0）图象上有两个不动点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，且x₁<x₂．

(1)若a=1，b=2，c=0，求函数y=ax²+bx+c的不动点坐标；

(2)求证：x₁≥(4ac-b²)/(4a)；

(3)若函数y=ax²+bx+c(a>0)，a=1/2，b²－4b－2c<0，当0<x<x₁时，

 ①求证：y> x；

 ②求证：y<x₁．

[感谢泉州惠安彭雪林老师供题]

【图文解析】

 (1)依题意，当a=1，b=2，c=0时，

y=x²+2x．由不动点的定义，得

x=x²+2x，解得x₁=－1,  x₂=0.

所以A(－1,－1), B(0,0)．

说明：由题意，知：实际上不动点就是抛物线与直线y=x的交点．

(2)因a>0，所以函数y=ax²+bx+c有最小值为(4ac-b²)/(4a)，即对任意x的值，都有y≥(4ac-b²)/(4a)．又因A(x₁，y₁)是此函数图象上的不动点，根据函数的不动点定义，得y₁=x₁，且y₁≥(4ac-b²)/(4a)，所以x₁≥(4ac-b²)/(4a)．

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(3) ①【试题再现】若函数y=ax²+bx+c

(a>0),a=1/2,b²-4b-2c<0，当0<x<x₁时，

 ①求证：y> x；

【图文解析】

①设w=y－x=1/2x²+(b－1)x+c．

因抛物线有两个不动点，且a>0,

所以函数w的图象开口向上，与x轴有两个交点(其中左交点为(x₁，0)).如下草图：

结合图象，知：当0<x<x₁时，w随增大而减小；而当x＝x₁时，w＝0，所以当0<x<x₁时，w> 0；即y> x；

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(3)②【试题再现】若函数y=ax²+bx+c

(a>0),a=1/2,b²-4b-2c<0，当0<x<x₁时，②求证：y<x₁．

【题干解读】当a=1/2时，对应函数为y =1/2x²+bx+c．其图象的对称轴为x=-b/(2×1/2)=-b．

(说明：与函数值比较大小、最值相关的综合试题离不开对称轴，往往以对称轴为基准进行分类求解!!!).

  由(2)知：x₁≥(4ac-b²)/(4a)，将a=1/2代入，得x₁≥(2c-b²)/2．又由已知b²-4b-2c<0，得2c-b²>-4b．所以x₁>-2b．

【图文解析】

【法一】由于抛物线的对称轴为直线x=-b，根据抛物线的对称性，知：当y=x₁时，对应的点的横坐标为x₁和-2b-x₁．

又由【题干解读】知：x₁>-2b，得2b+x₁>0，．所以-2b-x₁<0．即直线y=x₁与抛物线y=ax²+bx+c必有两个交点，且两个交点的横坐标为一正一负，同时注意到条件：a>0，且讨论的是当0<x<x₁时．画出符合题意的草图(如下图示)：

结合图象，得：当-2b-x₁<x<x₁时，y<x₁．又因-2b-x₁<0，所以当0<x<x₁时，y<x₁．

完整的图象如下：

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【动态演示】

【反思】数形结合，是解题的关键．画函数图象时，务必理解题中的关键点和关键位置对应的函数部分在解题中的所起的作用和意义．如果本题用通俗的按对称轴所处的位置分类讨论，相对会麻烦些．这里略去．

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