干货 | 解立体几何添加辅助线的技巧

点击关注妙解之慧 2022-07-16

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在学习立体几何时，空间中平行、垂直的证明，距离、角的计算，点、线、面位置关系的判断大多都需要做出辅助线，有些同学一涉及辅助线问题就懵圈，不知如何下手。

那么什么情况下该作辅助线？

如何根据条件作出恰当的辅助线？

是否存在作辅助线的规律呢？

看完就知道啦！

一、定义法

添加辅助线——求角问题

解决异面直线夹角、线面角、二面角、面面垂直的问题时，通常需要结合定义法求解，可是题目往往不会那么好心的为我们给出满足定义的所有条件，此时就需要添加辅助线，使已知条件满足某个定义，即把定义中缺少的线、面、体补全，所以理解并熟知立体几何当中的定义、概念很重要．总结一下就是：按照定义条件作辅助线凑条件．

定义法作辅助线求异面直线所成的角

定义法作辅助线求线面角

定义法作辅助线求二面角

上述各例都是利用定义法作平行线和垂线，凑足条件后利用定义找到相应的角，结合解三角形得到相应的答案．

二定理法

添加辅助线—证明平形&垂直问题

证明空间中的平行和垂直问题利用定义法一般较为麻烦，通常采用判定定理和性质定理。

来证明，利用定理作出辅助线，构造定理使用的条件．故定理法作辅助线即找满足定理的条件，核心为作平行线和垂线．

添加平行线的策略

把不在一起的线集中到一个图形中，构造三角形、梯形的中位线，平行四边形、矩形、菱形的对边等，通过图形性质就可得到所需的平行关系．

添加垂线的策略

立体几何中的许多定理是与垂线有关的，如三垂线定理，线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，正棱柱、正棱锥的性质，球的性质等，所以运用这些定理，就需要作辅助线把没有的垂线补全．尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系和使用三垂线定理或其逆定理．

作垂线方法：等腰三角形或正三角形取底边中点，连接顶点和中点；连接正方形、菱形的对角线；直立方体，可连接上下面中心；构造勾股定理等构造垂直关系．

三、割补法

添加辅助线解决三视图或求体积、表面积问题

几何体的三视图，常常可以看作是由基本几何体(如正方体、长方体)切割出的几何体的三视图，作直观图时，可以画出正方体(或长方体)，在此基础上切割并想象三视图得到所需几何体的直观图．利用辅助线或辅助面，通过“割”或 “补”把一些线面关系放到一些特殊的几何体中思考，或把原几何体分割成几个特殊的常见的简单几何体，使各种线、面关系易于理解．

四、中心对称问题中的对称连线法

当遇到对称几何体或几何面的问题时，如球、正三棱锥、立方体、圆、正三角形、矩形、平行四边形等，根据题意可以把对称几何体或几何面的中心几何面的外心、内心、垂心、重心和所求问题涉及的点线面连接起来，然后利用几何体或面的性质求解问题．例如平行四边形连对角线；圆的问题向圆心连线；球的问题向球心连线等，使问题简单易解．

总结

立体几何作辅助线问题，看到求角想定义，看到求证想定理，看到结论想性质．定义、定理是打开解题思路的关键，也是引入辅助线的基础。

所以运用这些定义、定理或性质时，就需要把没有的线补上．尤其要注意平面的垂线，因为有了平面的垂线，才能建立空间直角坐标系，才能使用三垂线定理或其逆定理．

对于复杂的几何体，分割成若干个常见的几何体求解．

对于抽象的几何体则补全为常见的几何体求解，即“中点琢磨中位线，定理、性质凑条件；

复杂抽象想熟体，切割添补是利器，有了垂面作垂线，对称体面中心连” ．

作辅助线的目的就是把一些分离的条件通过添加辅助线联系起来，集中在一个图形中，构造出三角形、平行四边形、矩形、菱形，或者利用三角形、梯形的中位线来作出所需要的平行线等，这样就可以通过解三角形等，求得要求的量，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．

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