贞元数学：儿童怎样玩转立体几何？

Original 开封贞元学校贞元教育 2024-01-09

编者按：

昨晚（7月27日），由宋亚男老师主讲的贞元线上数学讲座代数篇隆重推出，今晚（7月28日）几何篇的数学讲座也将在20:00推出，主讲老师是赵俊杰。今天就为大家介绍贞元几何的教学理念和赵俊杰老师的课堂记录，为大家呈现贞元的几何课堂。

赵俊杰老师

在成人看来，小孩子应该先认识立体图形还是平面图形？——一般情况下，大家很自然地会认为是平面图形。是啊，精确学习欧氏立体几何要到高中阶段呢！

但是，我们日常生活的这个世界是平面的还是立体的？——当然是立体的！

所以，小孩子其实对立体图形的经验更丰富。从这个意义上来讲，孩子应该先认识立体图形。

所以，人教版一年级教材从立体图形开始学习是有道理的。早在2015年，江子校长就对教材的这一设计撰文诠释、梳理，随后，我们学前、一年级的课程设计就在这个思路上进一步挖掘，以丰富的图形游戏开启儿童的图形探索之旅。

下面是王志江校长提出的几何教学理念。

低段小朋友怎样玩转立体图形？

王志江

人教版一年级上学期第三章是《认识图形（立体）》，对于刚刚六岁多一点的儿童，怎么教？怎么学？困惑不可谓不多。我尝试着简单梳理如下：

首先，视觉是此阶段儿童建构空间观念的起点。教师可以在立体王国的有趣故事中出示各种常见的几何体，请儿童依据已有经验和视觉进行命名。

需要说明的是，虽然儿童总是降生于一个立体世界里，但是，他们在学前阶段，总是在父母的有意安排下，先学会了对常见平面图形的命名；即便随后也会接触立体模型，但是终归要相对陌生一些。如果在学前阶段没有经历这样的学习历程，在一年级刚刚接触立体图形辨认时，可以在出示立体模型的同时，也出示容易混淆的平面图形，引导儿童根据视觉差异进行新的命名。

如果你的孩子还不到三岁（或者你本身就是幼儿园小班教师），而且你对儿童空间观念的建构过程充满兴趣，我建议你不妨大胆尝试一下：直接把常见的立体模型给婴幼儿当玩具，在游戏过程中逐步给玩具“命名”；一旦这些名字足够熟悉了，再聚焦立体模型的“局部特征”——面（同时结合平面图形模型），逐步对常见平面图形进行命名。在此过程中，除了直接观看，还可以把多种方法结合起来运用；比如：触摸、盲摸、盖章（把正方体的某个面图上颜料，然后在白纸上通过“盖章”的方式构造出正方形）……等等。

其次，依靠双手的触摸，引导儿童将触觉结果与在此之前依据视觉所形成的立体图形的“表象”进行对照和综合。

这里的触摸活动既可以边观看边触摸，也可以带上眼罩进行盲摸；同时，还可以引导儿童将触摸的经验用语言描述出来。这个活动并不是可有可无的，它其实非常重要：通过多种感知觉的综合作用，可以有效地协助儿童摆脱纯粹视觉的局限性。

学前儿童玩盲摸游戏

比如，当儿童初次“看到”有两个面是正方形的长方体时（下图左一），他们往往认为是正方体；非常神奇的是，即便教师在此时根本没有进行任何纠正，而直接改为请儿童盲摸，他们居然主动“改口”说是长方体！这些现象充分说明，触摸对于儿童建构空间观念是非常非常重要的活动。

随后，制作立体模型。

这种活动也往往没有受到正确的对待，要么认为儿童太小，他们连名字都还辨别的不够准确，怎么可能“制作”立体模型呢？！要么安排得不够合理，比如，在没有进行前面的两个教学活动的情况下，就直接让儿童“自由制作”；儿童当然也可以玩得很High，但是，从有意识有目的的教学活动的效率来说，就实在差强人意了。其实，视觉活动与触觉活动就相当于一个“输入”的过程：儿童将外在的“动作经验”逐步内化，从而建构生成立体图形观念；而制作模型就相当于一个“输出”的过程：儿童依据自己的内在观念去制作出自己“想象”中的几何体；也就是说，制作模型并不是儿童直接对外在几何体的模仿，而是内在观念外化的结果。

学前儿童用磁力棒制作立体图形，仅三棱锥一种图形就能制作出那么多不同的样子！

学前儿童用彩泥制作立体图形，每一种图形都做了三个。

学前儿童用彩泥制作立体图形，每一种图形做了四五个。

学前儿童用六种立体图形连成了火车，圆柱体当车头，后面依次是长方体、正方体、圆锥体、球体和三棱锥的车厢。

最后，立体图形盖章，沟通立体图形与平面图形的关系。（后附课堂实录）

在以上过程中，所谓的“面”（如：正方形、长方形、圆等）、“角”等说法，都可以作为立体图形的一部分在课堂对话中自然而然地带入，但是，不能引导儿童精确聚焦或辨析这些局部特征，低龄儿童只能从整体上感知几何体，以及相互之间的某些区别，他们一般还不能从局部细节上研究几何体的特征。

立体图形盖章，则直接把立体图形的“面”印在纸上，它们是立体图形的一部分，它们是另一类不一样的图形——平面图形！如何给它们分类、命名呢？

（注：学前或一年级下册学习平面图形的时候，还会有一系列针对平面图形的动手游戏，如：剪纸、拼图、用小木棍、磁力棒制作平面图形，等等。）

有效的数学教学应该是：基于儿童，发展儿童。

忘掉了前者，数学就变了一堆客观存在的“真理”，儿童就变成了“容器”，教学就变成了“灌输”，教育就变成了今日人人喊打的“过街老鼠”。忘掉了后者，数学仍然是一堆客观真理，只不过，它对于儿童来说“太难了”（暂时不能学，但是“何时可以学”的问题又有意无意的被忽视了）；儿童变成了花园里既被木栅栏呵护着，又可以率性生长的草本植物——小时候的确无忧无虑、快快乐乐，但是慢慢地却长成了“野草”！教学看似热热闹闹，却无益于儿童思维能力的发展。

在我们看来，客观存在的数学真理仍然以文化的形态存在着，它可以为儿童的认知活动提供必要的刺激和营养；而数学学习活动，总是儿童基于自己已有观念的发展水平，通过既被精心设计又充满无限开放性与可能性的课堂对话，让数学观念在儿童的大脑中得以活泼泼地、精彩地诞生！数学不再是纯粹客观的，当然，它也不是纯粹主观的，而是在主、客交互的作用中，一步一步建构生成的——像儿童一样，数学观念也是有生命的，可以不断生长的！

在这样的几何教学理念下，会呈现怎么样的课堂呢？
下面是赵俊杰老师在低段上的几何课实录。

学前儿童的立体图形盖章课堂实录

赵俊杰

第一板块：讨论游戏规则

今天的游戏超级好玩，我们来用立体图形盖章，或者说，我们来让立体图形们踩脚印。为了不让好玩的游戏变成教室里的一场灾难，老师照例要先跟孩子们讨论游戏规则，不到六岁的娃娃们自己说“要轻轻地涂，小心点儿。”“可以穿上画画的衣服（围裙）。”如果颜料蹭到桌子上、手上、地上可以“用纸擦。”如果时间长了，颜料变干了，就“用湿抹布擦。”

通过老师简单的演示，孩子们发现垫了泡沫纸印出的图形更完整，他们就会立刻学到这个小技巧。

好啦，穿好围裙和套袖，动手大干一场吧！

第二板块：立体图形盖章

老师给大家发材料，然后开始自由地盖章。老师尽量给每个孩子不同的模型，孩子们可以互相交换着用，大家都特别喜欢这个游戏，所以动起手来忙而不乱。

老师关注着每个孩子的操作情况，及时跟孩子对话，这个过程中会有许许多多有趣的小故事发生。

有时由于模型上涂的颜料不均，有的地方涂少了，盖出的章上有空白，琳就用毛笔把空白填上。

翔兴奋地让老师看他印的一个长条形状，问他怎么印的，原来是把圆柱体的侧面涂上颜料，让它“躺”下印的。老师把他的创意分享给其他孩子，并问翔：“如果把圆柱体的侧面全部涂上颜料，让它在纸上打滚儿，会印出什么样的图案呢？”他兴奋地继续探索。在他最终的作品上，还有圆锥体滚动的痕迹（下图中红色的大长方形）。

萌指着作品上的一些很小的点点告诉老师，那是她用正方体的角印上去的。

宝的作品（下图）左下角有一个不太规则的圆形图案，他说是球体的脚印。老师让他重新用球体印一下，发现他印的时候让球体在纸上一个比较小的范围内滚了滚，不过印出来的图案还是比原先那个小多了。

师：“这个（指原先那个较大的不太规则的球体脚印）刚印出来的时候是这么大吗？”

宝：“不是。”

师：“你是怎么弄的？”

宝：“（印完以后）用笔画的。”

宝可能是觉得球体的脚印太小了，太不明显了，这样的作品太不像话了，于是就动手让它变大一点吧！

老师接着问宝：“如果让球体在纸上滚一滚，它的脚印会是什么样的？”

宝：“就变大了。”

师：“如果让它从这边滚到那边呢？”

宝：“就是长条的了！”

学生作品

第三板块：讨论分享

ppt逐一出示每个孩子的作品——用立体图形盖章，请大家说出各种图案分别是谁的脚印。

师：“这是谁的脚印？”

生：“正方体！”

师：“这个图案叫什么名字呢？”

生：“正方形！”

师：“这是谁的脚印？”

生：“长方体！”

师：“这个图案叫什么名字呢？”

生：“长方形！”

师：“这是谁的脚印？”

生：“圆锥体！”“圆柱体！”“球体！”（盖章时用了底面较大的圆锥体，底面较小的圆柱体，所以孩子们可以通过圆的大小判断，哪个是圆锥体的脚印，哪个是圆柱体的脚印。）

师：“球体的脚印是这样大大的吗？”

生：“不是，是小小的。”

师：“圆柱体和圆锥体的脚印怎么看起来差不多啊！为什么呢？”

生：“它们都有圆。”

师：“这个图案叫什么名字呢？”

生：“圆形！”

师：“这是谁的脚印？”

生：“三棱锥！”

师：“这个图案叫什么名字呢？”

生：“三角形！”

师：“它为什么叫三角形呢？”

萌：“它有三个角。”老师请她到前面指一指“三个角”。

师：“哦，它有三个角，所以叫三角形。它还有什么呢？”

生：“边！”“三个边！”

老师一边用手“划”着指，一边数出三角形的三条边，说：

“它还有三条边。那它可不可以叫‘三边形’啊？”

生：“可以！”

师：“那我们再来看这几个图形（指圆形、正方形和长方形），它们当中，还有谁可以叫几边形，或几角形？”

生：“长方形！”

师：“为什么呢？”

生：“它有四个角。”“它有四个边。”

老师数出长方形的四个角、四条边，说：

“它的确有四个角、四条边，那它还可以叫什么？”

生：“四边形！”“四角形！”

师：“哇！太棒了，我们可以自己创造一种新的命名了！”

生：“还有正方形！”

师：“正方形还可以叫什么名字？”

生：“四边形！”“四角形！”

师：“为什么？”

生：“因为它有四个边。”“它也有四个角。”

师：“哇！真的呀！正方形也有四个角、四条边。”

师：“在大家的作品里，这幅作品是我最欣赏的。”

师：“因为这里有很多神奇的图案，是翔自己探索、创造出新方法印出来的。比如，这个是什么形状？（指作品右下角蓝色三角形）”

生：“三角形！”

师：“怎么印出来的？”

生：“三棱锥！”

师：“可是，别人的三棱锥脚印不是这样的呀！怎么回事呢？”

生：“是三棱锥的那个面（指侧面，而非底面）！”

老师拿出三棱锥模型，请学生演示，他把三棱锥放倒。

师：“哦！翔把三棱锥的这个面（侧面）涂上颜料，就印出了一个不一样的三角形！这个大大的红色的图案（作品左下方红色长方形），是什么形状？”

生：“长方形。”

师：“大家猜猜是怎么印出来的？”

生：“长方体！”

师：“昨天我们没有用这么大的长方体模型踩脚印啊！让翔告诉大家吧。”

翔：“用圆柱体滚出来的。”

生：“是让圆柱体倒下，躺下！”

师：“对！翔把圆柱体的侧面全都涂上颜色，先让它躺在纸上，就印出一个长条的痕迹，再让它从上往下滚，就印出了一个大大的——”

生：“长方形！”

师：“简直太好玩了！还有一个更神奇的呢！这个图案是怎么印出来的？（指作品中下部印得不太完整清晰的扇形）”

学生猜了几次都被翔否定，于是请他自己来揭秘。

翔：“用圆锥体滚的。”

老师拿出圆锥体模型，问：“翔在圆锥体的哪个面上涂了颜料？”

翔指圆锥体的侧面。

老师：“然后让圆锥体怎么样呢？”

学生：“躺下！”

老师把圆锥体躺着放在桌面上，边滚动圆锥体边说：“然后让它在纸上滚。是滚了一圈吗？”

学生：“不是！”“半圈！”

老师：“你看，翔发明了那么多新奇的玩法，这样的作品真是太好玩了！”

有学生问作品上长长的条是什么，翔是想把所有的图形连起来，做成火车的样子。

继一年级《认识图形》之后，孩子们再次直接聚焦立体图形要到五年级了，那时候，除了聚焦长方体、正方体的一些局部特征以外，最主要的是进行三维体积测量。而到了高段，孩子们的几何学习又会有不一样的呈现。
下面是赵俊杰老师初一的几何课堂记录。

图说 | 七年级学生怎样玩转立体图形？

赵俊杰

其实，从小学到初中，儿童对立体图形的认识都是偏“浪漫”的，从低段的“整体”认识立体图形，到高段能够通过测量立体图形的表面积、体积，以及高段和初一的“面体互化”，都是偏“浪漫”的，都离不开动手操作。

但是，即便都是动手操作，高段和初中的游戏仍然明显要“精确”得多，它会更多地聚焦立体图形的“局部”特征。

“面体互化”开课之前，老师们先准备花泥，干什么用呢？往后看。

什么样的图形经过怎样的变换就能构成正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱锥呢？这是琼同学制作的几何体，你知道它们都是由哪些平面图形围成的吗？

正方体的开展图有哪些呢？有什么规律呢？

辉同学和茹同学找到了11种正方体的展开图，你呢？不服来战哦！

圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的展开图是什么样的？

一个球有侧面展开图吗？利用橘子皮模拟球，来探索：平面是否能围成球？

用一个平面截一个正方体，所得到的“截面”可能是哪些平面图形呢？哈哈，知道花泥要干什么用了吧！

源同学得到了这些截面，你呢？

与老师一起探索“正方体怎么切就能得到平行四边形？”

与老师一起探索“斜着切圆柱能得到是什么图形？” 啊？这是什么？香肠？！没错，就是香肠！多好的切割材料，不仅可以探索立体图形，还可以——吃！哈哈！

12岁以上的儿童已进入“形式运算阶段”，若仅仅停留在操作、画图等经验层面，思维将停滞不前。

在足够的动作经验基础上，我们要用“推理证明”这把锋利无比的“宝剑”一起去建造以推理证明为基础的欧氏几何“大厦”，帮助儿童获得形式思维的巨大提升！

在初中阶段，精确聚焦的主要是欧氏平面几何，而欧氏立体几何要到高中阶段才会精确学习。但是，这并不妨碍我们初中生在合适的时候以合适的方式玩转立体图形哦！

编者按：

贞元老师们写的文章总是这么干货满满，超级实打实，不耍花腔，简直象师带徒的手把手传授，她们总是愿意把教学过程中的关键部分展示出来，把她们最重要的心得体会告诉你，不怕别人学了去。

这种文章看起来虽然不轻松，但孩子们数学思维的养成，数学兴趣的点燃，数学成绩的提高，靠的就是老师们这种实打实的硬功夫。

网上有大把轻松愉快，大谈各式先进理念的教育文章，但能让你看到踏踏实实地，把教育理念落实下去，把每一个细节做到极致的教育团队，恐怕不多。

今晚（7月28日）20:00点，本文中两节几何课程的任课老师赵俊杰将在线上为大家讲授如何培养孩子的数学思维，请扫下面贞元虞姐姐的微信，让她邀你进入公益讲座群。

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