根轴训练题12-2012USATSTST

更新一道看上去很唬人的水题

题目标签: 共点类- 垂直+中点- 2012USA TSTST

知识储备: 基本定理

(为了避免影响思路, 知识储备处写的基本定理, 其中基本定理包括: Menelaus, Ceva, Simson线, Pascal, Pappus, Ptolemy, Stewart, 九点圆, 蝴蝶定理, 鸡爪定理等)

题目难度: 高联1

(虽然是美国的TSTST, 还是无情的给他打了个高联1的难度...当作玩笑了)

题目如下:

三边垂足分别为, , , , 同理定义, , 三边中点分别为, , ,

求证: 到的垂线, 到的垂线, 到的垂线共点.

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为什么给这个题目难度定在高联1呢, 是因为如果你敏锐的察觉到他共的点是哪一个的话, 这个题瞬间就水了, 命题风格与我见到的某些TSTST的几何一样, 是陈旧结论的堆砌.

所以问题来了, 你看出来共的是哪个点了吗?

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证明: (没法装作看不见共点于垂心)

设垂心为, 射线与外接圆交于,

易知(另一头是的对径点)

注意到

由蒙日定理共点于,

故到的垂线经过,

同理到的垂线, 到的垂线也都经过

证毕!

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