北师大版九年级数学上全册知识点精讲

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第一章 特殊平行四边形

第二章 一元二次方程

第三章 概率的进一步认识

第四章 图形的相似

第五章 投影与视图

第六章 反比例函数

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全册知识点总结

第一章  特殊的平行四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的对边平行且相等。（对边）

（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）

（3）平行四边形的对角线互相平分。（对角线）

（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：

（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（对边）

（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（对边）

（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（对边）

（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（对角）

（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。（对角线）

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意：平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积:  S平行四边形=底边长×高=ah

二、菱形

1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行。 （边）

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。（对角）

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。（对角线）

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。（边）

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（对角线）

（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。（对角线）

4、菱形的面积：   S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

三、矩形

1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等。（对边）   

（2）矩形的四个角都是直角。（内角）

（3）矩形的对角线相等且互相平分。（对角线）

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。（角）

（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线）

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab

四、正方形

 1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行。（边）

（2）正方形的四个角都是直角 （角）

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（对角线）

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。

3、正方形的判定

（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

（2）定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。

（4）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。

（5）定理4：对角线相等的菱形是正方形。

（6）定理5：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

（1）先证它是矩形，再证它是菱形。 

（2）先证它是菱形，再证它是矩形。

第三章  概率的进一步认识

 频率与概率的含义 

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即

把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。

 通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 

在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。

第四章 图形的相似

一、成比例线段

1、定义：

（1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n.

（2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),

那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b

二、平行线分线段成比例

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。

三、相似多边形

定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。

四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

3、三边成比例的两个三角形相似。

4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

五、相似三角形判定定理的证明

六、利用相似三角形测高

1、利用阳光下的影子

2、利用标杆

3、利用镜子的反射

七、相似三角形的性质

1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。

2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

八、图形的位似

定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

第五章 投影与视图

A）三视图 

• 主视图——从正面看到的图 左视图——从左面看到的图 俯视图——从上面看到的图 

• 画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.

• 虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线. 

B）投影 

• 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 

• 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 

• 在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 

• 物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. 

• 探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称

为中心投影

• 皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。

C）视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用。 

.  眼睛所在的位置称为视点，

.  由视点发出的光线称为视线，

.  眼睛看不到的地方称为盲区

第六章  反比例函数

一、反比例函数的概念

一般地如果两个变量x，y之间的关系可以表示的形式，那么称y是x的反比例函数。（反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。）

二、反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

三、反比例函数的性质

四、反比例函数解析式的确定

确定反比例函数解析式的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

五、反比例函数中反比例系数的几何意义

过反比例函数图像上任一点P（x,y）作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别是M、N，则所得的矩形PMON的面积

知识框架图

第一章：特殊平行四边形---知识体系

第二章：一元二次方程---知识体系

第三章：进一步认识概率---知识体系

第五章：投影与视图---知识体系

第六章：反比例函数---知识体系

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