北师大版 八年级数学下册 6.4《三角形的中位线》知识点精讲

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三角形的中位线知识点

、定理

1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。

2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。

逆定理

逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。

逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。

注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。

（微课精讲）

三角形中的三条重要线段：

中线、角平分线、高线

概念

中线

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线

三条中线交于点O，点O称为△ABC的重心

角平分线

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O

点O称为△ABC的内心

高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。

如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB

三角形三条高线交于点O

点O称为△ABC的垂心

以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线

（知识点精讲)

中位线

概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC

三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形

（微课堂精讲）

中点四边形

任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形

中点四边形一定是平行四边形

证明：

连接AC

因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半

同理，GH平行且等于AC的一半

因此，EF∥HG，EF=HG

所以，四边形EFGH是平行四边形

思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？

三角形中位线的解题策略

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三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。

²  三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

²  注意事项：

①前提：三角形。

②具体条件：两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。

③定理的结论：

位置上：与第三边是平行的，利用此定理可证明线段平行，从而可证明两角相等；

数量上：等于第三边的一半。利用此定理可证明两条线段之间的倍分关系；

应用举例

1、如果已知三角形两边中点，就直接连接构成三角形的中位线

例1、如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G分别是AD、BC、BD的中点，H是EF的中点，试说明线段GH与线段EF的位置关系；

【分析】在△ABC中，E、G分别是AD、BD的中点，可连接EG，则有AB=2EG；在△BCD中，G、F分别是BD、BC的中点，可连接GF，则有CD=2FG,而AB=CD，所以FG=EG,即△EFG是等腰三角形，又H是底边EF的中点，由等腰三角形的三线合一定理可知GH⊥EF.

2、如果已知三角形一边中点，则可以取另一边的中点连接起来构成三角形的中位线

例2、如图1所示，在三角形ABC中，∠B=2∠C，AD是三角形的高，点M是边BC的中点，求证：AB=2DM。

【分析】看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB上的中位线，再证明这条中位线与DM是相等的。

方法一：取AC的中点E，连接DE,ME。所以∠B=∠EMC=2∠C=2∠EDC,所以，DM=ME=AB/2

方法二：取AB的中点E,连接DE,ME,所以∠B=∠EDB=2∠C=2∠EMD所以，DM=DE=AB/2

3、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理

例3、如图，自△ABC的顶点A，向∠B和∠C的平分线作垂线，重足分别为D、E。

求证：DE∥BC

【分析】欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明△ABD与△GBD全等易证D是AG中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AEG的中位线，当然有DE∥BC。

【小结】由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。

例4、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC中∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为          。

【分析】因为，点E是BC的中点，如果点D也是某一边的中点，我们就可以利用三角形的中位线定理，来求得DE的长度。循着这条思路，我们不妨延长BD，交AC于点F，只要证明点D是BF的中点就可以了。

小试牛刀

一、直接使用中位线

1．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：EF∥GH，EF＝GH．

3．已知△ABC和△DBE中，AB＝CB，DB＝EB，∠ABC＝∠EBD＝α．

（1）如图1，点A、B、D在一条直线上，α＝60°，AE交CD于F．

求证：①AE＝CD；②∠AFC＝60°．

（2）如图2，在（1）的条件下，M、N、O分别为CE、AD、AC的中点．

①求证：OM＝ON；②求∠MON的度数．

（3）如图3，点A、B、D不在一条直线上，M、N、O分别为CE、AD、AC的中点，直接写出∠MON的度数．

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二、倍长法构造三角形中位线

版块二：已知一中点，常倍长线段构造三角形的中位线．

1．如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．

（1）求证：BF∥CE；

（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．

3．已知点M为△ABC的边BC的中点，AB＝12，AC＝18，BD⊥AD于D，连DM．

（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；

（2）如图2，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．

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三、取中点构造三角形中位线

2．如图，四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，BDC＝120°，E、F分别是AD、BC的中点，求EF的长．

典型题的多种证明方法

知识点回顾：

三角形中位线定义：三角形两边中点的连线段，叫做三角形中位线；

三角形中位线性质定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；

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例题：

如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到D，使BD＝AB，

E为AB的中点，求证CD＝2CE。

【分析】题中有两个中点，B为AD中点，E为AB中点，且求证中有2倍关系，很容易想到用中位线定理解决。

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1、利用全等三角形

（1）利用B点构造中位线。

如图1，取CD中点F，连接BF。
可得BF是△ADC的中位线，BF//AC，BF=1/2AC；
∵E为AB中点，AB=AC，可得BE=BF；
∵∠3=∠2，∠1=∠2，
∴∠3=∠1
∴△BEC≌△BFC（SAS）
∴CF=CE

∵CD=2CF，∴CD=2CE

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（2）利用E点（倍长中线法）

如图2，延长CE至点F，使EF=CE，连接BF；
根据倍长中线原理，可知△BEF≌△AEC（SAS）；
在证明△BFC≌BDC（SAS）[过程略]，可得到DC=CF，
进而得到CD=2CE；

[具体证明过程简略]

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2.利用轴对称性质

（1）利用B点构造中位线。
如图3，取AC的中点F，连接BF
可得BF为△ACD的中位线，有BF=1/2CD；
由等腰三角形的轴对称性质可得：CE=BF；
∴CD=2CE

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（2）利用CE构造中位线。

如图4，延长AC到F，使得CF=AC，连接BF；
可得CE为△ABF的中位线，BF=2CE；
也可得到：AF=AD，△ADF为等腰三角形，
由轴对称可得BF=CD；
∴CD=2CE

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3.利用三角形相似

∵E是AB中点，可设：AE=BE=x，
∵AB=AC，BD=AB，则有AC=2x，AD=4x，
∴AE/AC=AC/AD=1/2
又∵∠A=∠A，
∴△AEC∽△ACD，
∴CE/CD=1/2

∴CD=2CE

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4.利用平面直角坐标系

如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设BC=a，△ABC顶点的高长度为B，则可得到C(a,0)、A(，b），
根据中点坐标公式，可得到E(，），
D与A关于原点对称，可得到D（-，-b），
再由两点间距离公式可得：

∴CD=2CE

【总结】

同一道题，思路不同，所运用的知识点不同，最终会有多种不同的解法。在学习过程中要善于分析总结，养成多动脑、勤思考的好习惯，平时解题中多问一些“为什么”，多想想会不会还有其它的方法，久而久之，对数学思维和解题思路会有很大的帮助。

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