弗雷格：函项逻辑（2015-研究生分析哲学）｜黄敏

弗雷格：函项逻辑
从这一章开始，我们将用三章的篇幅讨论分析哲学中的弗雷格传统。函项逻辑是弗雷格对分析哲学做出的最为基础的贡献。在这一章我们主要考虑函项逻辑基本的设计理念，与此同时我们可以观察，语言学转向是如何得到体现的。
2.1 什么是逻辑？
在弗雷格和罗素的时代，即当代数理逻辑奠基的时代，对什么是逻辑，当时人们的理解与当前体现在数理逻辑教科书中的理解不同。要理解逻辑主义，要理解分析哲学的动机，就要充分重视这一点。
在这一节中，我们从逻辑与语言的关系，以及逻辑与意义的关系这两个维度，来看看逻辑主义所理解的逻辑是什么。
当代数理逻辑通常被视为一种辅助性的工具，它可以帮助人们把推理变得更加严格，也可以帮助人们得到一些一时难以直观地看出的结论。逻辑起这种作用的方式是：先用逻辑符号来改写我们的推理前提，这样就可以利用逻辑规则来展开计算，由此得到的结果就是推理的结论，这样，我们就用逻辑计算取代了依赖于直觉的推理过程。按照这种理解，逻辑本身不为推理提供前提，而只是提供推理规则。这样的逻辑本质上是自然演绎逻辑，而不是公理系统。
我们还可以用“条件式主义（conditionalism）”这个词来称呼这种观点。具有“如果……那么……”这类形式的句子通常叫做“条件式（conditional）”。按照这种观点，逻辑的运用在形式上就构成了条件句。这是一种具有输入输出的形式，当我们从自然语言中输入前提，逻辑就为我们输出结论。逻辑的本质就在于，当前提为真时，它能保证结论也为真——逻辑本身并不说明什么是真的。
如果按这种方式理解，那么逻辑所要保证的，就是推理过程的可判定性（decidability）。当一个推理过程可以用有穷多步机械的计算过程完成，我们就说这个过程是可判定的。“可判定性”这个词也用于判断一个符号串是否合法。当我们用某个逻辑系统所规定的符号串来表示句子时，有些符号串可以表示有意义的句子，这些符号串就被称为“合式公式（well-formed formula）”，其他的符号串则不能。一个逻辑系统应当包含用来构造合式公式的规则，利用这些规则，我们可以通过有穷长的步骤构造任意一个合式公式。在这种意义上，我们也说，某公式是否合式公式，这是可以判定的。
如果逻辑系统在上述两种意义上是可以判定的，那么利用这个系统，我们就可以用计算的方式来进行推理。具备可判定性，才有可能排除直觉成分的参与，从而达到推理的严格性。
自然推理是借助语言的意义进行的，语言的符号形式仅仅是识别出意义的线索，这些线索只要达到在推理过程中不致于忘记我们使用的是什么意义即可。这样的要求不足以达到可判定性的需要。要达到可判定性，就必须把所有在推理中起作用的语义要素都体现在符号形式上，从而最终能够单单从符号形式上就可以判断推理是否有效。这样的符号形式我们常常称为“句法特征（syntactical feature）”，逻辑系统中对句法特征所做出的规定则称为“句法（syntax）”。相应地，在逻辑系统中对符号的意义，或者符号表示什么东西所做出的规定，则被称为“语义学（semantics）”。相应地，符号在逻辑系统中的意义就被称为符号的语义。
容易看到，按照条件式主义理解的逻辑，本身是不提供知识的。这不是逻辑主义理解的逻辑。如果认为算术是一种知识，而逻辑主义希望从逻辑中导出算术，那么逻辑主义心目中的逻辑，就应当提供知识。而这至少也就要求，逻辑本身就应当保证一些命题是真的，而不止于保证推理的有效性。
逻辑主义所理解的逻辑，通常被称为“普遍主义（universalism）”。按照这种观点，逻辑系统所刻画的，是最为普遍的知识。这样，它就以与条件式主义不同的方式来解释逻辑的普适性。条件式主义的解释就是，逻辑是无内容的，因此它适用于任何内容；普遍主义的解释则是，逻辑具有内容，这种内容本身是最为普遍的。
弗雷格和罗素对于这种最为普遍的内容有不同的理解。在弗雷格看来，这种内容就是真这个概念所包含的内容；而在罗素看来，这种内容则是实在最为一般的形式特征，或者说就是实在的逻辑形式。这样，对弗雷格来说，逻辑是关于真这个概念的知识，而对于罗素来说，逻辑则是关于实在的逻辑形式的知识。这两种知识包含在所有知识中，因为，对弗雷格来说，任何知识都必须表达为真命题，因而分有了真这个概念；而对罗素来说，任何知识都是关于实在的知识，因而受制于实在的逻辑形式。弗雷格传统与罗素传统对知识的理解是不同的，但这不影响它们都认同普遍主义逻辑观，因为它们的逻辑主义动机是相同的。
很难说，逻辑主义者会在与内容对立的那种意义上，把逻辑当作是形式的。但他仍然可以通过在某种意义上满足可判定性要求，来使得逻辑系统具有某种形式性。这种形式性是指，当把逻辑运用于特定的自然推理时，无须理解自然推理所涉及的特定词汇，就能够判定推理的有效性。但逻辑主义会认为，要能够识别出逻辑真命题，必须理解一类通常称为“逻辑词项（logical terms）”的词汇。比如，要判断出命题“p∨∼p”是真的，我们无须知道“p”的意义，但必须知道“∨”以及“∼”的意义。这个命题可以在这种意义上被认为是形式的，但这不过是普遍性的另外一种说法。
与条件式主义不同，普遍主义认为逻辑词项是一种语言，而不是像条件式主义所理解的那样，是一种算符。按照条件式主义，我们事先无须知道符号的意义，就可以利用这些符号来达到逻辑的目的；对符号进行的“赋值”（注：即在模型论中对符号做出的解释（interpretation），这种解释就是把符号与非符号的东西对应起来，并让符号表示这些东西。）可以与符号变换（即推理）的有效性分开得到解释。但在普遍主义逻辑中，只有对非逻辑词项可以这么处理，对逻辑词项则不能——符号变换的有效性，恰恰是由逻辑词项的意义所保证的。
人们对逻辑的理解是后来才过渡到条件式主义的。这是因为人们把元数学中的形式主义思想引进了分析哲学。后面到第九章我们再处理这个问题。
2.2 词项逻辑
设计逻辑系统的目的，就是以恰当的数学结构来表示命题（注：“命题”这个词在通常的情况下是指就具有内容而言的句子，但在弗雷格和罗素那里则用来指句子所表达的、能够称其为知识的内容。在讨论命题结构时，我们所关心的是句子的完整内容是如何构成的。如果坚持认为命题结构与句子结构间存在对应关系，我们就可以利用句子结构来谈论命题结构。），这种结构能够解释关于这个命题的推理为何是有效的或者无效的。与此同时，这种数学结构也要能够说明新的命题是如何构成的，并且，要能够判断由此构成的命题是不是完整的命题。对特定的句子或者其他具有意义的符号串来说，揭示这种数学结构的过程，就是逻辑分析。
无论是什么样的逻辑系统，都会遵循一个方法论原则，即用尽可能简单的一个或少数几个基础数学结构，来表示命题的逻辑结构。这是因为可判定性是由数学结构的简单性保证的。当然，基础结构越简单，要在其基础上构造命题，所需要的步骤和层次也就越多，命题的逻辑结构也就越长越复杂。不过，这种复杂性对于判定过程来说并不构成原则上的障碍。只要命题的长度是有穷的，判定过程就可以完成。
普遍主义逻辑中采用了两种数学结构来充当构造命题的基础结构：在弗雷格那里的函项结构（functional structure），和在罗素那里的关系结构。以函项结构为基础结构的逻辑系统，通常称为“函项逻辑（functional logic）”，而以关系结构为基础结构的逻辑系统则称为“关系逻辑（relational logic）”。关系结构可以划归为函项结构，并且在理论上，函项结构具有关系结构所不具备的优点，因此我们在这里就只讨论函项逻辑。
为了更好地理解函项逻辑，我们可以将其与词项逻辑（term logic）做对照。这一节就勾勒一下词项逻辑。
2.2.1 命题的基本结构
三段论逻辑就属于词项逻辑。“词项逻辑”这个术语是就命题的基本结构而言的，而“三段论逻辑”则是就有效推理的一般形式而言的。三段论逻辑是词项逻辑的一种，后者是一个外延更广的概念。
词项逻辑是以观念理论为背景建立的，在这种意义上，它与逻辑主义动机、与语境原则相互冲突。词项逻辑的基本想法是，1）任何句子都或明或暗地包含了系词“是”，因而都可以写成“S是P”的形式，其中“S”与“P”单独具有意义，即单独表达相应的概念，而“S是P”则表达这两个概念之间的关系；2）概念之间的所有关系，都最终以包含关系为基础。
词项逻辑对于命题结构的分析方式，可以利用关于概念的传统理解来加以解释。这种理解可以在康德那里找到系统的阐述。康德在传统的观念理论的框架内理解意义。在康德看来，词语的意义就是与该词语相联系的观念。观念可以区分成形式与内容，其中内容是通过感官获得的，即直觉，而形式则是认知能力本身的特征，它表明观念之间是如何连接起来的，这就是概念。（注：出处。）比如，对于“红苹果”这个观念，我们会有相应的内容，这种内容是由我们关于红苹果的表象确定的；与此同时，这个观念还具备一种形式，即“红苹果”这个概念。当具备红苹果这个观念的同时，也就具备了苹果的观念，而这种关系表现为，红苹果这个概念包含了苹果这个概念。
如果概念之间的所有关系都以包含关系为基础，那么在说明一个概念是什么时，只需说明它包含了哪些概念，而无需考虑这个概念包含何种直觉内容。因此，在用“概念”这个概念来刻画命题的基本结构时，可以把直觉性的内容略去，而仅仅考虑概念，即考虑观念之间通过形式建立起来的关系。
一个概念对应于一个作为外延的集合。对于表达这个概念的词来说，我们可以把这个集合当作是这个词的语义。（注：以概念的内涵作为语义也没有问题，但这里不必考虑这种情况。）命题中所有具有语义的成分都是以集合作为语义的，这是词项逻辑的基本特征。
不难注意到，这样得到的理解不同于当代的理解。比如，像“苏格拉底是人”这个句子，“苏格拉底”被理解为表示一个概念，而不像现在，理解成表示一个人。这时，这个概念的外延中只包含一个元素，即苏格拉底——这个元素与这个概念的外延显然不是同一个东西。
如果用“概念’S’属于概念’P’”来描述命题结构，那么“属于”就表示两个概念间的包含关系。概念“S”包含概念“P”，这一点用数学的语言来说就是，“S”的外延是“P”的外延的子集。
使得命题为真的情况有两种，一种情况是，构成命题的两个概念中，主词表示的概念包含了谓词表示的概念；在另外一种情况下这种包含关系不成立，但句子仍然是真的。前面这种情况例如“红苹果是苹果”这个命题，无论“红苹果”与“苹果”表示什么样的观念，这个命题都是真的。它之为真只取决于两个概念的关系，而与它们的直觉内容或者所表示的对象没有关系。后面这种情况比如“苏格拉底是勇敢的”这个命题，它所包含的两个概念之间并无包含关系，它之为真，取决于苏格拉底这个对象是不是勇敢的。如果它是勇敢的，那么由“苏格拉底”和“勇敢”共同构成的概念外延就不是空集，即“是苏格拉底且是勇敢的东西”这个概念的外延不是空的。在康德那里，前一种情况被称为“分析命题（analytical proposition）”，后一种情况则被称为“综合命题（synthetical proposition）”。
显然，分析命题之为真，仅仅从命题的结构就可以看出，而不需要考虑概念各自的外延，也就是说，不必考虑实在中是否有相应的对象。与此对照，综合命题则取决于有什么样的对象存在。在这种意义上，综合命题表现了实在的情况，我们从这样的命题为真，就可以知道实在是怎样的；分析命题则无法做到这一点。对此人们通常说，分析命题不表达内容，而综合命题表达。
对于命题的这种分析／综合，以及有／无内容的划分，在这里是重合的。一般说来，如果把分析性理解为命题的真值仅仅取决于命题结构，而把句子的内容理解为与命题之外的东西（或者说句子所谈到的东西）的对应关系，那么这两种划分就是重合的。但是，如果把命题结构本身也当作命题内容的一部分，那么这两种划分也就不再重合了。此时命题不管是不是分析的，都会有内容，这种内容就在于命题表现了自己的结构。事实上，在弗雷格那里就是如此。
2.2.2 推理的有效性
按照建立逻辑的一般原则，命题结构应当能够解释推理的有效性。词项逻辑把命题解释为概念按照外延的包含关系结合而成的整体。按照这个思路，推理就可以按照集合之间的包含关系来解释。比如这样一个推理：
- 1）所有人都是有死的；
- 2）苏格拉底是人；
- 3）因此，苏格拉底是有死的。
其中第一个前提（即大前提）说的是，“人”这个概念的外延是“有死的”这个概念的子集；第二个前提则是说“苏格拉底”这个概念的外延（这是一个由苏格拉底的这个作为唯一成员的集合），是“人”这个概念的子集。按照集合的子集关系的可传递性（注：这种可传递性体现在，如果A是B的子集，B是C的子集，那么A就是C的子集。），我们就可以知道“苏格拉底”这个概念的外延也是“有死的”这个概念外延的子集，由此得到结论。这样一来，我们就利用包含关系这种集合论结构的数学特性，解释了这个推理为何是有效的。
由于利用的是包含关系，词项逻辑所理解的命题都是由两个概念构成。由于利用包含关系的可传递性来解释推理，词项逻辑所理解的推理也常常采用三段论的形式。其他形式的命题和推理都要利用两个概念构成的命题，以及三个命题构成的推理来加以解释。这种解释有时候是很笨拙的，有时候干脆是不可能的。比如，我们用另外一种形式来描述前面给出的那个推理：

- 1）“人”这个概念的外延是“有死的”这个概念的外延子集；

- 2）“苏格拉底”这个概念的外延是“人”这个概念的外延的子集；

- 3）因此，“苏格拉底”这个概念的外延是“有死的”这个概念的外延的子集。

这个推理的每个命题都不仅谈到了概念的外延，而且谈到了包含关系。如果我们分别用“A”、“B”、“C”这三个词项来分别表示“‘苏格拉底’这个概念的外延”这个概念、“‘人’这个概念的外延”这个概念，以及“‘有死的’这个概念的外延”这个概念，那么三个命题就依次是由B与C，A与B，以及A与C这三对词项，再加上“…是…的子集”这个词项构成的。我们不能把各命题中的三个词项算作两个，比如把1）看成是由B与C算作一个词项，再加上“…是…的子集”这个词项构成的，并且类似地把2）中的A与B算作一个词项，3）中的A与C算作一个词项。因为这样一来三个命题就只有“…是…的子集”这个词项是共同的，我们无法利用包含关系来解释这样的推理是如何有效的。经过考察可以发现，其他的组合方式也无法解决这个问题。这是一个很奇怪的现象，因为这个推理中的三个命题，其实都是利用词项逻辑的方式，对前面那个推理中相应命题进行解释得到的形式。
词项逻辑不能解决这样的问题，这应当算是一个技术上的弱点。如果命题和推理确实可以用数学结构来表示，并且这种表示能够解释推理的有效性，那么词项逻辑的问题就在于采用了不恰当的数学结构，来充当对命题进行逻辑分析的基础结构。一般说来，设计这样的基础结构，有些像用规格单一的积木，来拼成各种各样的图案。这样的基础结构应当有足够的弹性，以适用于多种多样的命题形式。其次，这样的基础结构应当足够抽象，从而含有足够少的特征，这样才能够利用一种统一的方式，来分析复杂多样的命题。包含关系显然不满足这些要求，这使我们不得不寻找更有表达能力的基础结构。
2.3 函项逻辑的基础结构
弗雷格在制订函项逻辑的基本思路时利用了数学中的函数形式，这似乎只是一种类比。但是，这里我们会严肃地对待这种形式。弗雷格用于逻辑的那种形式，并不是一种类似于数学函数的结构，而就是那种结构。
2.3.1 对象与概念
按照词项逻辑，句子表示两个概念间的关系。而按照弗雷格的函项逻辑，句子则包括两种成分，一种表示对象，另外一种表示从对象到真值的映射，这个映射称为“概念”。前一种成分被称为“名称（name）”，后一种成分则称为“概念词（concept word）”或者“谓词（predicate）”。当这两种成分恰当地结合起来，就会确定一个真值。对弗雷格来说，这个真值正是句子所表示的东西。按照这种考虑，句子成分的语义包括对象与概念，而不像在词项逻辑中那样，只是概念的外延这一种。
比如，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”这个词理解成直接就是指苏格拉底这个人。“是人”则表示概念，作为映射，它会从某个人映射到真值真，而从其他东西，比如一匹马，映射到真值假。
弗雷格的要求是，在任何句子中，都必须有词项被用来表示对象。
这样做并不是禁止把“苏格拉底”理解成概念。我们确实可以这么理解，不过如果真要这么理解，“苏格拉底”就要理解成我们就某个对象所把握到的概念。比如在“这就是苏格拉底”这个句子中，我们在说这个句子时辅以手势，就指出了站在面前的一个对象，这个对象就是“苏格拉底”这个概念的实例（instance）。这样，对于“苏格拉底是人”这个句子，如果把“苏格拉底”理解成概念，弗雷格建议的解释就是“对于任何一个东西，如果它是苏格拉底，那么它就是人”。其中就利用“它”来指出一个对象。
显然，弗雷格使用“概念”这个词的方式不同于康德。康德把概念当作词语的内容，而词语所表示的东西是概念的外延；弗雷格则把概念直接当作一种词语表示的东西，而不是词语的内容。这对弗雷格来说，是因为对逻辑的理解发生了变化而做出的术语调整。
按照康德的理解，概念只是观念的形式，而只有与直觉结合在一起、从而具有完整内容的观念才对应于特定的对象。因此一个概念只能部分地确定一个对象，实际上确定的，则是对象的类或集合。这样，康德只能以类或集合为概念的语义。在这种意义上，逻辑仅仅关系到命题的形式部分，内容则由直觉确定，从而受制于心理主义解释。与此相对照，弗雷格要建立的逻辑不仅要把形式的部分包含在内，而且也要包含内容，以免为直觉留下余地。我们可以这么说，在康德那里，逻辑从属于观念理论，它只处理形式的那部分，因此是先有观念理论后有逻辑；而在弗雷格这里，从一开始就没有观念理论，而只有逻辑。
由此我们可以明白，弗雷格为什么要求句子中必须包含名称。在康德的观念理论中，对象最终是通过直观来确定的，因此只有通过直观，命题才能到达对象；而在弗雷格这里，必须确保命题本身就可以到达对象，这样就不会给直觉的插手留下余地了。在康德那里，概念与实例之间通过直观建立联系；而在弗雷格这里，利用命题“这是……”就可以做到。只要这个命题是真的，用“这”（它是个名称）所表示的对象，就是后面所接的概念词所表示的概念的实例。这个句子受到逻辑的约束，也就意味着逻辑对概念与实例的对应关系也建立了约束。
2.3.2 命题的函项结构
“函项”这个词实际上就是数学中的“函数（function）”。函数既可以解释为一种数学结构，又可以解释为一种变换操作。比如y=3x+2，当作为数学结构时，它以直线的形式出现；而当作为一种变换操作，则表示在变元（variable）x取一个值时，如何得到相应的y值。
作为一种数学结构，方程式y=3x+2的结构是重要的。它影响了直线的位置和角度。而作为一种变换操作，则要求当自变元在定义域内取特定值时，方程式总是确定了唯一的函数值与之对应。这时，人们把一个函数解释成从自变元到函数值的映射（单射），并且可以忽略函数式的内部结构。
函项逻辑的灵感是，把句子的逻辑结构解释为与函数对应的数学结构，也就是说，理解成本质上是表示函数这样一种数学变换的结构。其核心想法是把句子结构区分成两部分，一部分类似于方程y=3x+2中等号后面的那部分，它所表示的东西称为“函项”，另一部分则表示变元的值，称为“主目（argument）”，即数学中所说的“自变元”。例如，“苏格拉底是人”这个句子，就分析为表示函项的“x是人”与表示主目的“苏格拉底”，如果把主目作为变元x的值代入函项，就可以表示成“苏格拉底是人”。
作为一种函数结构，句子应当有取值，就像方程y=3x+2中的y那样。弗雷格把真值（包括真和假）作为句子就整体而言的值，而句子结构表明了真值是如何得到的。
按照对象与概念的区分，函项就是概念，而主目则是对象。进而，在句子结构中，主目由名称表示，而充当函项则由谓词表示。
这里要注意，就像在方程式中那样，在单独写谓词时，一定要带上变元符号，以表明在哪里和怎样取值。比如，“x杀死y”这个带有两个变元的谓词，要在前后两个位置上都取值，才能得到完整的句子结构；而这个谓词与“x杀死x”显然不同，后者要求在前后两个位置上取相同的值。因此，在单独写“x杀死y”这个谓词时，就不能写成“杀死”。有的作者会写成“…杀死…”，以表明主目的位置，但这种写法仍然会造成歧义。如果需要，仍然要用变元来消除歧义。
需要注意，对象与概念的区分，是建立在句子结构的名称和谓词之分的基础上的，而不是说，有些东西本身就是概念或者对象。比如，之所以说苏格拉底这个人是一个对象，是因为我们用“苏格拉底”这个名称来表示它。如果我们把“苏格拉底是人”这个句子理解成是由“苏格拉底是x”与“人”构成的，那么前者虽然带有“苏格拉底”这个词，它所表示的仍然是概念。
把函项结构当作句子的基础结构，一个直接的好处是具有词项逻辑所不具备的灵活性。由于在一个句子中可以有多个主目，它就允许有更为复杂的结构。比如“A包含B”这个句子，就可以分析成“x包含y”这个函项，以及“A”与“B”两个主目。
函项解释的另外一个好处是，可以非常方便地实现迭代。常常可以看到用一个句子或者一个句子的变化形式，来充当另外一个句子的成分的情况。比如，“如果奥巴马赢得了弗吉尼亚州，他就赢得了总统大选”这个句子，就由“奥巴马赢得了弗吉尼亚州”与“奥巴马赢得了总统大选”这两个句子组合而成，并且，这个组合而成的句子还可以充当其他句子的成分，从而构成更长的句子，如此等等。这种情况就是迭代。利用函项容易解释迭代的情况。数学中的函数本身就是可迭代的，也就是说，一个函数的函数值可以充当自变元，来构成复合函数。事实上，句子的迭代就是通过函数的迭代来解释的。这样就可以解释，为何在语言中总是可以组成无限复杂的句子。
2.3.3 分析句子的函项结构
即使像前面所说的那样了解了什么是函项结构，我们仍然不知道，对任意给出的句子，我们应该如何分析它的结构。比如像“苏格拉底是人”这个句子，它究竟是由函项“x是人”与主目“苏格拉底”构成，还是由“苏格拉底是x”与“人”构成，还是由“x是y”以及“苏格拉底”、“人”构成的。事实上，弗雷格从数学上为函项结构给出了非常有效的界定，使得在任何一个足够大的语言背景下，都总是可以以足够确切的方式分析句子的命题结构，并且从这种分析所提供的句子成分出发，构成完整的句子。
为了掌握这套界定，需要一些准备性的定义与说明。
先定义“表达式”这个词。｛表达式就是句子中的这样一些符号串，它们能够作为单独表达意义的部分分离出来，构成其他有意义的句子。｝比如“苏格拉底”、“人”以及“苏格拉底是人”这样的符号串都是表达式，但“格拉底是人”却不是表达式。像“乞力马扎罗”这样的名称是表达式，符号串“马扎罗”在充当名称时（比如某个人名）也是表达式，但是，“马扎罗”作为从“乞力马扎罗”中分离出来的符号串，却不是表达式。因此，“乞力马扎罗”不是由其他表达式构成的表达式。
作为一种极限情况，一个句子也可以算作一个表达式。人们也可以依据自己的喜好把句子与表达式分开。
谓词中变元所在的位置可以称为“空位（gap）”。具有空位的表达式被弗雷格称为是“不饱和的（unsaturated）”或者“不完整的”。我们可以把空位形象地理解成一个待填充的位置，这样理解显然适用于表达式的物理形态。“x是人”这个概念，我们也可以写作“（）是人”，从而表明这个空位究竟在哪里。不过，我们不能赋予这个说法以过多的涵义。我们甚至可以不解释它，而只是将其像化学中的“化合价”那样，理解为表达式之间相互结合的能力。关于这种能力我们很快就会提到。
特定谓词中空位的数量和位置都是固定的，空位之间的关系（即哪些空位要取相同的值）也是固定的。
名称就是不含空位的表达式。当名称充当某个变元的值时，就说这个名称填充了谓词中的空位。
有了上述说明以后，就可以来看如何对句子进行函项分析。分析句子的函项结构，其约束性的原则有这样四个：

- a）所有表达式要么有空位，要么没有空位；

- b）有空位的表达式的空位数目确定，并总是在确定的位置上；

- c）只有当一个无空位的表达式填充不饱和的表达式的空位，两个表达式才能连接起来；

- d）只有当不饱和表达式的所有空位都得到填充，才能得到完整的句子。

这四个原则中的第一个关系到表达式的分类，这意味着名称与概念词是相互排斥的类别，并且它们穷尽了所有表达式。第二个原则说明空位的数目和位置是不饱和表达式的固有特征。第三个原则解释了表达式之间是如何连接的。这种连接无需借助粘合剂或者中间环节之类的任何其他东西。第四个原则说明了什么样的表达式才表达完整的命题。关于这一点，弗雷格的想法是有变化的。在早些时候，特别是写作《概念文字》的时候，弗雷格认为句子与名称是不同的，因此要表达完整的命题，就必须有不饱和表达式，并且其所有空位都要得到填充。而到了晚些时候，弗雷格把句子也算作名称，这样，表达式只要不含空位，就是完整的。在后面的内容中，我们仍然把句子与名称区分开，以避免一些不自然的说法。
这四个原则一起，就可以对同一个语言之内的句子进行确定的分析，也就是说，把句子中包含的表达式，按照唯一一种方式都分离出来，并且，按照这些原则，还可以把这些表达式拼合成数量无限的完整句子。
例如，前面我们遇到的“苏格拉底是人”这个句子，似乎既可以分析成“苏格拉底”与“x是人”，也可以分析成“苏格拉底x”与“是人”。但是，只要我们注意到，在我们的语言中可以有“格劳孔转向苏格拉底”这样的句子，就可以发现苏格拉底必须是没有空位的。因为，如果它有空位，空位就不能在前面，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”前面没有接任何表达式；同理，从“格劳孔转向苏格拉底”这个句子可以看出，空位也不在“苏格拉底”后面。这样，我们就可以否认能把“苏格拉底是人”分析成“苏格拉底x”与“是人”。
当然，我们也可以把“苏格拉底是人”这个句子分析成“苏格拉底”、“x是y”以及“人”这三个部分构成，因此这个句子仍然有不止一种分析方式。对这个问题我们可以有两种不同的理解。一种方式是同意可以这么分析，但认为这种方式并不排斥前面那种方式。我们可以认为，这个句子可以先分析成“苏格拉底”与“x是人”，而后再把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构。这样一来，原来那个句子仍然是只有一种分析方式，只不过这种方式是分多个步骤进行，我们不能认为在进行到不同步骤时得到的产物，构成了对句子的不同的分析。
另外一种理解方式是，否认可以把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构，理由是，这样分析是参照像“人是有死的”这样的句子进行的，但这样的句子中虽然“人”前面没有出现空位，但在这样的句子实际上表达的命题结构中，却有这样的空位。前面我们已经看到（注：见本书第几页。），这个句子表达的命题结构可以是“对任何东西来说，如果它是人，那么它是有死的”，“人”仍然是作为谓词出现的。它只是在表面上是名称，但表示的并不是对象。这种理解的要点是，必须分清句子结构与命题结构。句子结构是表面上看起来的结构，而命题结构则是句子所表达的内容的结构。所有命题结构都可以用相应的句子结构来表达，因此我们可以借助句子结构来分析命题结构，但这种分析有可能改变原有的句子结构。
这两种回应方式就“人”这个表达式的理解而言是相互排斥的，但就函项结构分析而言并不排斥。它们表明了这种函项分析的两个不同侧面的特性。前者说明了对句子进行的函项分析在何种意义上是确定的，后者则说明这种函项分析的结果并不总是与句子的表面结构吻合。
2.4 普遍性
对康德来说，知识的普遍性就在于，概念可以运用于不同的直观内容，因此，普遍性进而体现为，概念对应于外延，而外延则是由概念的实例（即对象）构成的集合。概念与实例间的对应关系，则是由某种心理机制保证的。
弗雷格没有这种类型的机制可用。在函项逻辑中，对象与概念之间的关系是通过形如“这是……”的句子为真来保证的。在这样的句子中，对象与概念均是通过语言的手段引入的，这就是名称与概念词。｛普遍性的原初涵义是指，我们以相同的方式把握了不同的对象，或者在不同时刻给予我们的对象。｝在函项逻辑中，弗雷格需要一种方式来体现这一点。他的大体思路是这样的。
“人是有死的”这个句子就表达了普遍的知识。人们通常这样解释这种普遍性，“它说的是，不管是什么东西，只要它是人，它就是有死的”。这种解释恰好就体现在我们前面对这个句子作出的函项分析中，我们把这个句子分析成，“对任何一个东西，如果它是人，那么它就是有死的”。不过这个句子的函项结构并不明显。在抛开一些语气的成分（例如“就”），容易把“如果ξ，那么ζ”，以及“它是人”和“它是有死的”分离出来，进而把后面两句话分别分析成“它”与“x是人”的结合，以及“它”与“y是有死的”的结合。难点在于“对任何一个东西”这个表达式该如何处理。
看起来，这个表达式应该理解成变元，因为它表示一个不特定的对象。它同时也确定了后面出现的两个“它”表示同一个对象。因此，我们可以在这样一种意义上把它看作是一个常项（constant），虽然我们可以任意取一个值，但在“x是人”与“y是有死的”这两个谓词中，相应的变元必须取这同一个值。因此，这个句子的函项结构就是这样的：
如果α是人，那么α是有死的。
在这个结构中，“α”就是现在我们称为“约束变元（bound variable）”的东西。其确切涵义是，在这个结构的范围内，它总是取同一个值，因而可以看作是一个常项；但是，超出这个结构之外，它的值是任意的。这里的关键是，在这个范围内取同一个值，这并不是“x是人”与“y是有死的”这两个概念词的要求，而是出于我们要把这两个概念词连接起来这一目的，而提出的要求。这样一来，在“x是人”与“y是有死的”这两个谓词分别看来，我们都用了确定的名称来填充相应的空位，从而得到完整的句子。
在现在使用的符号系统中，通常用全称量词（universal quantifier）来表现这种结构。我们写成
∀x（如果x是人，那么x是有死的）。
这里使用了括号，并用“∀”以及后面接的变元记号“x”，来表明哪些变元被约束。括号内所有用“x”表示的那些变元必须取同一个值。由括号标出的范围通常称为全称量词的辖域（domain）。
这种特殊的变元在数学中，特别是在几何证明中，是很常见的。比如，在证明三角形内角和是180度时，要证明的是一个普遍命题，但证明这个命题的方式却是画出一个特定的三角形，并以之为基础展开证明。在证明的过程中，这个三角形总是保持不变，因而在证明的程序之内出现的命题，所提到的总是特定的那个三角形，我们可以说“三角形”这个表达式是常项。得到证明的那个命题之所以是普遍的，是因为证明过程所借助的那个三角形是任意的，在证明过程的范围之外，“三角形”这个表达式是变元。
对于按照这种方式分析出的函项结构，会有两种解释。按照一种解释，全称量词要解释成“所有”，比如，“∀x（x是人）”就解释成“对所有东西，它都是人”。按照这样的解释，我们必须按某种方式来列举所有东西，然后逐个确定这些东西是不是人，只有都是，“∀x（x是人）”才是真的。另外一种解释则是把全称量词解释成“任意”，也就是把“∀x（x是人）”解释成“对任意东西，它都是人”。按照这样的解释，即使不能列举所有东西，我们仍然可以确定全称句是不是真的，方法是，任意选取一个东西，看它是不是人。这里的关键是，“任意”解释允许在确定全称句是否真时，不必确定世界中有哪些东西。
有理由认为，弗雷格所理解的普遍性就是“任意”解释的全称结构。这可以解释他单独制定逻辑公理，而不去考虑实在中有什么东西的做法。按照“任意”解释，普遍命题是否为真，取决于这个命题中所包含的概念词，或者说，概念间的关系或者概念结构，保证了普遍命题为真。比如“人是有死的”这个句子，它之是否为真，取决于“人”和“有死的”这两个概念之间的联系，而不取决于“人”或“有死的”这些概念是否具有实例。能够把握这种使得普遍命题为真的概念联系，也就能够单独地确定普遍命题是否为真。这样，弗雷格就在函项逻辑的基础上，把普遍性与命题的结构重新联系起来，而不必像康德那样借助于直觉或者观念。
在函项逻辑中，除了全称量词，还可以引入存在量词。像“有些东西是人”就使用了存在量词。现在，人们通常把存在量词表示为形如“∃x（x是人）”这样的形式。存在量词可以用全称量词来定义，例如“∃x（x是人）”的意思就可以表述成“并不是所有的东西都不是人”，即“并非∀x（x不是人）”。与全称量词一样，存在量词也表达了普遍性。
在形式上，弗雷格（以及几乎所有后来的逻辑学家）把“∀x（……）”当作一种新的谓词，用来填充这种谓词空位的是像“x是人”以及“x是有死的”这样的谓词。因此，人们也把“x是人”与“x是有死的”这样的概念词称为“一阶谓词（first order predicate）”，它们表示一阶概念（first order concept）；而把“∀x（……）”这样的谓词称为“二阶谓词（second order predicate）”，它们表示二阶概念（second order concept）。
注意，二阶谓词与一阶谓词的连接实际上并不是通过让一阶谓词填充二阶谓词的空位得到的。这样的连接是得不到完整句子的。二阶谓词仅仅是表示对一阶谓词的主目进行了约束，而这种约束并不是句子的结构特征，而是我们看待句子的方式上的特征。句子的结构中，空位还是由一阶谓词提供的，填补空位的仍然是名称。
2.5 逻辑的自足性
函项逻辑是当代数理逻辑的标准形式。尽管如此，人们对函项逻辑的一些重要方面的理解，仍然与弗雷格建立这种逻辑时试图贯彻的反心理主义的意图相去甚远。在此简要地说明一下这一意图是如何得到贯彻的，是非常有必要的。
在为逻辑设计基础结构时有两种不同的进路，我们可以依次称为“自下而上进路”与“自上而下进路”。前者是从语义开始，按照语义特性来确定句法结构；后者则是从句法结构开始，按照句法结构上的特征来确定表达式语义。
词项逻辑是按照自下而上进路建立其命题基础结构的。概念作为一种观念特性，以独立于语言的方式确定下来。概念的内涵和外延也是这样确定的。这样，词项的语义也就先确定了。包含关系是在概念之间建立的，用“是”连接起相应词项，由此构成的句法结构反映了这种包含关系。
在函项逻辑中，名称与概念词首先是作为句法结构的特征（即饱和与不饱和）得到确定的。它们分别以对象和概念为语义。但什么是对象，什么是概念，这些却是通过它们是由名称还是概念词表示的，来加以确定的。这样一来，句法结构也就获得了优先于语义的地位。
容易看到，这种优先性正是我们在第一章所说的，语言之于思想（或意义）的优先性。在这里，这同时也是语言之于逻辑的优先性。它要求逻辑对语言本身，而不是语言之外的东西负责。
要注意，当我们说“对象”这个概念是由相应表达式的句法特征定义的，这并不是说，通过一种语言上的约定，我们可以任意地规定一个东西是不是对象。用句法特征来定义的是什么算作一个对象，而不是具体某个东西是不是对象。通过这种定义，确定了我们应该怎么谈论一个对象，而无论要谈论的是具体哪个对象。因此，句法优先性进路所贯彻的是这样一个意图：我们谈论事物的方式应当受制于语言，而不应当是受制于事物。
语言之于逻辑拥有这种优先性，实际上就使得逻辑建立在语言的基础上。与词项逻辑对比就可以看到，这是至关重要的一步。
函项逻辑与词项逻辑之间最基本的区别是，在词项逻辑中，词项是先通过概念得到定义的，一个词项就是表达一个概念的东西，而概念以独立于逻辑的方式，以心理学或观念理论的方式得到界定；而在函项逻辑中，表达式则是通过句子得到定义，因而没有余地诉诸逻辑之外的东西。词项逻辑违背了语境原则，而函项逻辑则是按照语境原则的精神设计出来的。关于函项逻辑的这一点可以从饱和性这个概念中看出。
在函项逻辑中，饱和表达式填补不饱和表达式，这样一种结构是基础结构。这里所谓的饱和与不饱和究竟是什么意思，在前面我们根本没有加以解释。弗雷格本人也没有给予任何解释。这是因为，如果关于表达式的这种划分是按照语境原则的精神作出的，那就不能解释。什么算作一个词语，这是由其有意义性决定的。因此，语境原则规定了词语与句子在概念上的先后顺序，它要求句子先于词语，这既是说句子意义优先于词语的意义，也是说，究竟什么是一个词语，也要由有意义的句子来确定。而这意味着，只能用句子这个概念来定义词语，而不能反过来。当然，这就要求只能利用句子这个概念来解释词语是如何构成句子的，因为，否则我们就可以把句子定义为词语按照某种方式来构成的东西。所以，饱和性实际上是从句子这个概念中派生出来的。我们只能说，饱和表达式与不饱和表达式这两个概念同时被完整的句子所定义，当两个表达式一起构成完整句子，一个被认为是饱和的，另外一个就必须是不饱和的。至于“饱和”与“不饱和”本身是什么意思，这是不重要的。我们可以用别的词语来充当相同的角色。
函项逻辑的这种特征使得逻辑具备了自足性。只要知道什么是完整的句子，也就理解了饱和性这个概念，从而也就掌握了函项结构。知道什么是完整的句子，这是我们语言能力的一个基本的部分。因此，对逻辑的理解，也就是我们关于语言的知识或者使用语言的能力的一部分。虽然不能用明确的方式来解释什么是完整的句子，我们总是可以识别单个符号串是不是完整句子，也总是可以知道单个表达式是不是饱和的。这是我们的语言能力使然。一旦获得语言能力，我们就无需其他东西的帮助就能够运用它。在这种意义上，语言能力是自足的。因此，把逻辑建立在语言的基础上，不是使逻辑依附于非逻辑的东西，而是使逻辑获得自足性。这种自足性使得对逻辑的心理学解释无以置喙，从而让逻辑得以成为真正的辩护结构。

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阅读材料：
1）Frege: Begriffsschrift (part), in The Frege Reader, pp. 47-55; 
2）Frege: ‘Function and Concept’, in The Frege Reader, pp.130-48. 

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