黄敏：构造主义分析（下）

4. 不完全符号与命题函项
在“我遇到一个人”这个句子中，“一个人”这个词按照语法形式是一个独立的表达式，但它的逻辑形式却是一个由谓词“是人”加以限定的变元，这个变元不具有独立的意义，因此，从逻辑的角度上讲，它甚至不是一个表达式。类似于这样在语法上独立、但在逻辑上不独立的词语，就被称为“不完全符号”。摹状词理论的实质是，把间接指称的表达式解释成不完全符号，因此我们也可以把摹状词理论称为不完全符号理论。
罗素建立摹状词理论的目的是要解决间接指称问题，但摹状词理论的提出，却是基于对变元意义的一种解释，这种解释具有独立的理论价值，它包含了罗素对于命题的一种相当基本的看法。为了理解这种看法，需要先解释一下“命题函项（propositional function）”这个概念。
命题函项是在关于函项的一般性概念的基础上定义的。函项是从主目到函项值的映射，因此，只要确定了在主目取各个值时函项的对应取值，也就确定了函项。命题函项是以对象为主目，命题作为函项值的函项。比如“x是人”这个表达式，当x以对象为值时，比如以张三这个人为值时，如果认为由此得到的是“张三是人”这个句子所表达的命题，“x是人”就表示一个命题函项。
在弗雷格那里我们看到了真值函项，即主目与函项值都是真值的函项。这种函项已经纳入到了当代逻辑的标准配置中。弗雷格所理解的概念也是一种函项，这种函项是以真值为函项值，而以对象为主目。这种函项不是命题函项，因为它的值是真值而不是命题。当“x是人”被理解为命题函项时，它所表示的就是命题结构，或者说，表示“张三是人”、“李四是人”这样的句子共同的特征。这样理解“x是人”这个表达式，我们就不会把其中的“x”解释为指称一个不特定的对象，因为张三、李四等等这样特定的人彼此之间的共同之处不在于他们都是不特定的对象；而是会理解为把“张三是人”、“李四是人”这样的句子中的专名抽掉以后，得到的可以代入的结构。“x”表示这种结构中的空位。
利用命题函项这个概念，我们可以这样表述不完全符号理论：命题函项不是命题中的构成成分。按照罗素式命题的构成方式，所有表达式的意义都是通过指称命题中相应的构成成分来确定的。如果命题函项不是命题的构成成分，那么，表示命题函项的表达式就不是真正意义上的表达式，而是不完全符号。由此，我们就可以像罗素所表述的那样，把“存在x，x是人”这类句子的真值条件，解释成与具有“x是人”这种结构的句子所具有的真值条件相关联的形式，解释成那类句子中至少有些句子是真的。所有含有约束变元的句子都要按照相应的方式解释，这些句子中包含了变元的部分都是不完全符号。摹状词理论的基本思路就是用变元来改写间接指称词项，因此所有这样的词项就都是不完全符号。
这样表述的不完全符号理论关系到的是命题的基本结构，因而对于罗素的逻辑概念来说是一个非常基本的学说。弄清这样一个学说的来龙去脉就显得很重要了。一个很有趣的要点是，不完全符号理论不能在罗素式命题的背景中得到解释，因而不在罗素的实在论立场以及外在关系理论所构成的框架之内。按照这个框架，在“张三是人”这个句子中通过去掉“张三”这个表达式（我们暂且将其看作是完全符号）得到的部分，应当构成了命题的成分。这个命题是由张三这个殊相、“人”这个共相，以及例示关系构成的。去掉张三这个殊相以后，就得到由“人”这个共相与例示关系构成的复合物。虽然这个复合物不能算是完全的（它缺少一个关系项），但在同样的意义上，例示关系单独看来也不是完全的，它缺少两个关系项。既然例示关系是命题的构成成分，我们就没有理由不把例示关系与一个共相一起，也算作命题的构成成分。
要解释不完全符号理论，就要引入这样一个前提：把句子“张三是人”中的完全符号“张三”去掉，剩下的部分不能解释成例示关系与一个共相构成的复合物。这个前提就相当于说，命题函项不能为例示关系与共相所穷尽。但是，这是一个带来麻烦的前提，因为，如果“x是人”不能为例示关系与“人”这个共相所穷尽，那么由于“张三是人”是由“张三”与“x是人”共同确定的，这个句子也就不能为张三这个殊相与例示关系以及“人”这个共相一起所确定，而这与罗素的命题理论相冲突。
这个新加的前提实际上要求按照弗雷格语境原则的那种方式来理解命题。承认语境原则，就相当于说，句子意义不能完全分析成是由表达式的意义组合而成的，而只能把表达式意义理解为是由句子意义所决定的。而不完全符号理论所需要的前提，恰好就是承认，句子意义不能完全分析成是表达式意义组合而成的。
对于这种冲突，可以采取一种妥协办法（Dummett）：对于像“张三是人”这样不含变元的句子，仍然采取罗素的命题理论，从而按照外在关系理论以及实在论构成的框架来处理，将这样的句子所表达的命题解释成表达式意义组合而成的；而对于所有含有变元的句子，比如“存在x，x是人”这样的句子（所有含有变元的句子都要使用量词对变元加以约束，才得到有真值的句子），就按照语境原则来处理，把命题函项“x是人”当作不完全符号。这样处理，就能够按照罗素的方式来确定前一类句子的真值条件，然后，再按照这类句子的真值条件，来解释后一类、含有变元的句子的真值条件。
可以看到，“x是人”不能看作是命题函项的名称，从而，不能把“存在x，x是人”这样的句子，看作是表达了关于命题函项的事实。罗素的表述方式是误导性的。他说，“存在x，x是人”这个句子可以理解为“‘x是人’有时是真的”（On Denoting）。按照这种表述，要么把带引号的“x是人”理解为指称语句的一个片段，要么理解为命题函项的名称。不管是采取哪种解释，“存在x，x是人”这个句子都将被解释为表达了这样一个命题，这个命题的一个成分是语句片段或者命题函项，另外一个成分则是共相“有时是真的”，它们通过例示关系连接在一起。这样一来，“x是人”就将是一个完全符号，它单独指称语句片段或者命题函项。
罗素的表述应当这么解释：“‘x是人’有时是真的”的意思是，对于把x换成常项所得到的句子中，有些句子是真的。我们不妨观察一下这个句子的真值条件。只要“张三是人”、“李四是人”等等这样的句子中有一个是真的，“‘x是人’有时是真的”（=“存在x，x是人”）这个句子就是真的。因此，后面那个句子的真值条件，取决于前面那一组句子的真值条件。这样，“x是人”所起的作用就是，通过表示常项如何代入句子结构中，来确定这一组句子是如何得到的；而“有时是真的”所起的作用，则是把这组句子的真值条件与“存在x，x是人”这个句子的真值条件对应起来。因此，“x是人”这样的命题函项不是作为真值条件（即罗素式命题）的一部分起作用，而是确定含有变元的句子的真值条件所依赖的是哪些不含变元的句子的真值条件，而在建立于真值条件之间的这种依赖关系中，后面那类句子的真值条件是作为整体起作用的。这样一来也就解释了，为何当“x是人”这样的成分出现在句子中时，并不表示命题的成分。
这里的要点可以这样说明：假设世界中只有三个对象，它们依次是张三、李四和王五，这样，
1）存在x，x是人
这个句子的真值条件，就可以表述为：
2）张三是人，或者，李四是人，或者，王五是人。
可以看出，只要张三、李四和王五中有一个是人，2）就是真的，此时1）也是真的；而当三个都不是人，2）就是假的，当然，1）也是假的。这里，重要的是，2）中没有对应于“x是人”的成分。因为，如果把2）中出现的三个“是人”解释成对应于“x是人”的成分，那么2）中的“张三”等名称是怎么来的，就得不到解释；而解释这些名称何以出现的，恰好就是变元x——它们是变元的值。事实上，变元的出现，也解释了“是人”为何在这里会出现三次——它们出现的次数取决于变元取值的个数。

罗素的不完全符号理论，使得我们要把所有句子区分成两类，一类句子含有变元（约束变元），另一类句子不含约束变元。命题函项记号作为不完全符号只出现于前一类句子中。它们的出现，使得前一类句子的真值条件依赖于后一类句子。后一类句子所表达的，是更为基本的命题，因此，罗素心目中的逻辑分析，是以不含变元的句子为基础的。

5. 构造主义分析
摹状词理论直接导致了构造主义分析（constructivist analysis），这种分析的基本理念就是，用结构来取代实体。罗素对这种分析抱有极大的信心，以致于认为这是哲学最主要的工作。事实上，罗素式的哲学分析就是构造主义分析，它在罗素关于数学基础研究、逻辑哲学以及其他知识领域所做的分析工作中，都发挥了指导性的作用。

“用结构取代实体”，这个口号的具体想法，就是把指称某个实体或者某类实体的词项视为摹状词，将其分析成含有变元的命题函项形式。一方面，这就意味着我们原来认为指称实体的词项不再依据实体而具有意义，我们不必承诺这种实体存在；另一方面，分析得出的形式展示了一种逻辑结构，这种结构说明了指称这种实体的词项参与构成的句子真值条件究竟是怎样的，也就是说，谈论那种实体的句子表达了什么样的罗素式命题，它实际上谈论的是什么。这样的分析通常能够产生建设性的成果。为了说明这一点，不妨看一个例子。

5.1 关于无穷的摹状词分析
在关于数学的基础研究中，无穷究竟是否存在，这一直是个问题。人们直观上认为，无穷是一个数，但是，这种看法会产生一些难以接受的结果。我们知道，古希腊哲学家芝诺（Zeno）就提出了一系列的悖论，人们称这些悖论为“芝诺悖论”。芝诺悖论中有一个经过变化了的形式是这样的：
如果一条线段上有多个点，那么就会产生矛盾。这是因为，无论线段上有多少个点，这些点的数目总是确定的；但是，给定了这些确定的点，相邻的两个点只要不重合，它们之间必定有第三个点，因此线段上点的数目将总是比这个确定的数目要多；因此，线段上点的数目是不确定的。当然，相邻的点肯定是不重合的，因为重合的点实际上是一个点。
这个悖论是通过点的数目既确定又不确定得到的。数确定，是因为任何数目本身都是确定的；不确定，则是因为当点数确定以后又多出一些点来。容易看到，之所以产生这个悖论，是因为线段上的点数是无穷多的，而无穷就其是数而言是确定的，因为任何数都是确定的；但我们在这个数上继续添加，它仍然是无穷，因此无穷是不确定的。[2]
我们也许会认为，问题出在“任何数都应当是确定的”这个想法上。因为如果坚持无穷是数，并且认为无穷是不确定的，那么并不是所有数都是确定的。但是，这样想似乎又是违背直观的。任何数都是确定的，这个想法与“任何存在的东西都是确定的”一样，是自然而然的想法。我们不会认为一个不确定的东西存在——存在的东西不管它是什么，都如其所是。前面陈述的芝诺悖论的那个版本，正是在存在与无穷这两个概念之间出现的直观上的矛盾。
对无穷这个概念作出分析，这是数学家康托的工作，而这个工作很容易按照罗素的方式来给出哲学的解释。
在数学中，无穷通常写成“ω”。我们不妨把“ω”这个单称词项看作摹状词。数学研究表明，这个摹状词就是“与自然数集合的元素数目相等的集合的元素数目”。我们利用计数的方法来解释“…与…的数目相等”。这是两个集合之间数目相等的关系。说两个集合数目相等，意思就是在这两个集合的元素之间建立一一对应关系，其中任意集合的元素都不存在重复对应或者缺少对应的情况。计数就利用这种数目相等的关系。我们把要计数的那个集合与自然数构成的集合对应起来，其中自然数集合按照从1开始的顺序排列构成数列，要计数的那个集合与这个数列从1开始的一段建立对应关系，最后有对应元素的那个数，就是要计数的集合的元素数目。这样，自然数集合的元素数目就是无穷，因为，自然数集合本身当然就满足“与自然数集合的元素数目相等”这个谓词。
当把“ω”这个单称词项改写成上述摹状词以后，就很容易解释关于无穷的一些性质。比如，ω = ω+1。如果是有穷数，这一点当然是不成立的，但若按照前面的方式解释无穷，这一点成立。“ω+1”就是与这样一个集合元素数目相等的集合元素的数目，这个集合中除了包含所有自然数，还包括一个附加的元素，比如多加了一个0（自然数是从1开始的）。由于所有自然数的数目就是ω，我们可以把在自然数的基础上多加了0的那个集合（我们称其为Φ），与自然数集合Ψ一一对应起来，方法是把Φ中的0与Ψ中的1对应，Φ中的1与Ψ中的2对应，Φ中的n与Ψ中的n+1对应。在自然数集合中，只要有一个数，就会有一个比它大1的数，因此，这个一一对应关系可以建立起来。由于Φ的元素数目是ω+1，而Ψ的元素数目是ω，所以ω = ω+1。
事实上，在康托的集合论中，无穷就是定义为满足ω = ω+1这个条件的数。无穷的这个特征很好地解释了芝诺悖论所体现的直觉，即无穷是不确定的。与此同时，把无穷解释成这样的摹状词，也使得我们可以否认芝诺所说的那种观点，即无穷是存在的。当芝诺说，无穷是存在的，因此它应当像所有的自然数那样是确定的，他的意思是，“ω”作为单称词项指称了一个自然数。但是，按照摹状词理论，“ω”在逻辑形式上是摹状词，因此我们不必在芝诺的那种意义上说它存在，即不必要求它指称一个自然数。其实，按照前面给出的那个摹状词，ω是自然数集合的元素数目，由于自然数集合中所有的数都不具备与自身加1相等这种性质，无穷并不是这个集合中的元素。作为自然数集合的数目，无穷不与自然数处在同一个层次上。无穷并不是自然数。因此，在自然数存在的那种意义上，无穷并不存在。

芝诺的那个悖论之所以产生，是因为无穷的不确定性与它作为一个数的存在相冲突；而现在我们看到，按照摹状词理论来分析无穷这个概念，这种冲突消失了。

5.2 还原式分析与阐明式分析
当把一个单称词项视为摹状词，并改写成带有约束变元的形式时，我们可以说，这就把按照语法形式看起来起指称作用的词项（例如“the F”），转换成了按照逻辑形式来说起描述作用的成分（例如“x是F”）。因此，摹状词理论的基本思路可以这么概括：把单称词项的逻辑形式中含有的描述成分分离出去，而让变元来承担指称功能。通过这种分离程序，原来以为由常项来指称的实体，是由何种逻辑结构得到的，这种逻辑结构由分离出去的描述成分表现出来。然而，“用结构取代实体”，这究竟是什么意思，还是要取决于如何理解这种逻辑结构。
在对某类单称词项进行摹状词分析时，假定我们已经得到含有约束变元的描述性的结构，现在的问题是，充当约束变元的值的东西又该是怎样的呢？这里可能有两种情况，一种情况是，我们用来指称约束变元之值的单称词项本身是不含描述成分的，也就是说，对它不能继续进行摹状词分析，由此我们得到一种终极的逻辑结构。第二种情况则是，用来指称约束变元之值的单称词项，本身仍然可以继续进行摹状词分析，这样，原来分析得到的逻辑结构并不是最终的结构。在这种情况下，经过摹状词分析我们以为得到的句子的逻辑形式，实际上并不是真正的逻辑形式，而应当在新的意义上算是语法形式，因为它允许进一步的摹状词分析。这样，我们就可以认为语法形式与逻辑形式的区分是相对的，一次分析得到的逻辑形式，可以是进一步分析所要处理的语法形式。
对于“用结构取代实体”的一种解释是，把所提到的实体还原成一种逻辑结构。在分析传统中，“还原（reduction）”是一个非常重要的话题，而“还原”这个术语也有多种意思。罗素的构造主义分析人们有时也称其为“还原论（reductionism）”。“还原”一词在这里的意思是，用更为基本的实体来取代所谈到的那种实体，从而把被还原的那种实体从本体论中排除出去。比如，如果用还原论来解释前面关于无穷的分析，我们就可以说，那里的构造主义分析最终达到的结论是，把我们以为存在的实体，即无穷，还原成自然数集合。这样，我们就不需要承认无穷是存在的，而只需要承认自然数集合存在。在这种分析中，用来替代无穷这个实体的，就是由自然数集合参与构成的逻辑结构，即“与自然数集合的元素数目相等”这个摹状词相对应的那种结构。
显然，把构造主义分析解释成这种意义上的还原，就要求分析后得到的结构是终极结构，它不能继续分析，而这是因为，按照这种结构结合起来的东西是真正存在的实体，而不是仅仅就语法形式而言属于单称词项所指称的那些看似存在的东西。这种不能继续分析的单称词项，在罗素那里就被称为“逻辑专名（logically proper name）”。这就是说，这些单称词项就逻辑形式而言是专名，而不是摹状词。
在前面我们已经知道，要判断一个单称词项是不是可以继续分析，我们只需看看关于其不存在的断定是否有意义即可。比如，“罗素不存在”这个句子是有意义的，这就说明“罗素”这个语法上的专名仍然可以当作摹状词来加以分析，因此它不是逻辑专名。按照这个标准，逻辑专名非常罕见。在罗素看来，“这”这个实指词（demonstrative）就是一个逻辑专名。“这”这个词就像某种手势一样，指向已经为人们所注意到的东西。说“这不存在”似乎是无法想象的。我们会认为这种说法无意义，因为只有当我们认为已经通过其他手段挑出所要指称的东西时，我们才会使用这个词来指称它。
要按照还原论来理解构造主义分析，重要的不仅仅是逻辑专名，更重要的是逻辑专名的指称。取代被还原实体的，只能是已经存在的东西。因此逻辑专名必须指称存在的对象。在罗素看来，逻辑专名的指称就是感觉材料（sense data）。简单说来，感觉材料就是知觉的内容，在一种经过仔细区分的意义上，也可以说是知觉的对象。在出现错觉时，我们会说自己看到了与实际情况并不相同的东西。比如我们看到一半浸在水中的筷子时，我们看到筷子弯曲了，而实际上筷子是直的，此时我们会说，自己看到的东西并不是实际存在的东西。这种为我们所看到的东西，就是感觉材料。罗素认为感觉材料不仅是在出现错觉时才会出现，错觉的情况只是用来说明什么是感觉材料的一个例子；感觉材料在任何知觉的情况下都会出现。我们对外部世界的认识，就是从感觉材料开始的。
在罗素看来，感觉材料之所以是逻辑专名的指称，是因为感觉材料是通过亲知为我们所把握的。“亲知”这个概念在前面出现时，我们只提到它的逻辑特征，即亲知是针对对象的知识，而不必用句子来表达；现在，亲知则从心理学上得到解释。我们似乎可以承认，由于知觉是我们的心灵所处的状态，而心灵总是会把这种状态表现到心灵的内容中，我们对自己的知觉状态总是有直接的把握。这种把握就被罗素称为“亲知”。如果这一点成立，那么只要感觉材料出现在心灵中，我们就会亲知它们。因此，用逻辑专名来指称感觉材料，我们就不会把感觉材料是否存在这一点弄错。这样，我们就以亲知的方式，保证逻辑专名具有指称。如果亲知这个环节就位，罗素的构造主义分析，就把就语法形式而言看起来存在的其他实体，还原成了像感觉材料这样的亲知对象。
如果按照构造主义分析后得到的那些指称词项（即充当变元之值的那些单称词项）可以继续分析，我们就不能说这些词项所指称的对象存在，而这意味着我们不能认为，这里的构造主义分析就是一种还原。在这种情况下，我们可以说，这种构造主义分析是对于我们的知识的一种阐明（exposition）。
比如，在前面关于无穷的分析中，如果我们没有充分的依据，来断定自然数集合存在，那么我们就不能说通过这种分析，就把无穷还原成了自然数集合。事实上，在很多哲学家看来，就像星球与山脉存在那样，说自然数存在，这是一件难以接受的事情，因为这就接受了关于数的柏拉图主义。即使对这样的哲学家来说，关于无穷的构造主义分析，仍然是富于价值的。因为这样的分析使我们能够证明关于无穷的许多结论，比如无穷加1仍然等于无穷。这种分析可以表明我们关于无穷的一些判断是否正确，因为，当用一种复合的逻辑结构来替代具有单一语法形式的单称词项时，就可以完成原来使用单称词项不能得到的逻辑证明。复合的逻辑结构为这种证明提供了可以利用的句法形式。
在这种情况下，即便没有达到还原的效果，构造主义分析仍然说明了，具备关于被分析的对象的知识，这意味着什么。这样，构造主义分析的结果就是，为我们的知识提供了更多的辩护基础，从而使我们的知识得以扩展。这样理解的构造主义分析，就是一种阐明式分析。它是对我们知识的逻辑基础的一种阐明。
即使是被认为是还原的那些构造主义分析，也可以理解为阐明。这种理解与罗素的实在论立场有关。罗素的实在论立场首先要在知识论层次上理解，这就是说，知识是关于实在的知识。按照这种立场，只有对应到实在的对象上，才算是正确地对待了知识。比如，如果我们认为张三知道金正恩是金正日的儿子，那么我们就不能说，当“金正恩是金正日的儿子”这个句子用来陈述张三的知识时，“金正恩”一词所指的是张三心目中的那个金正恩，而必须理解为实际上存在的那个金正恩。这里的关键是，即使金正恩实际上并不存在，要表述张三的信念内容，也必须假定他存在。因此，当按照构造主义的方式来分析某种知识时，我们提到某个对象，这可以不理解为对实际上存在的对象进行陈述，而是理解为关于知识内容的陈述。当然，如果所分析的实际上是知识，那么所提到的对象实际上就是存在的，但是，如果我们并不考察所分析的是不是真正的知识（这往往要进行真正意义上的科学研究，而不是哲学分析），而只是把它当作知识来加以分析，就必须把这里的区别考虑在内。
还原式分析与阐明式分析不一定对应于两种不同的分析过程，它们可以是对同一种分析过程的不同理解。在理解方式上的这种区别关系到对构造主义分析的理论预期。还原式分析关系到实在的基本结构，而阐明式分析则关系到知识的辩护基础。
还原式分析有一个明确的终点，此时人们到达了不可分析的东西，这就是实在的终极结构。按照前面的叙述，罗素认为确实有这样的终极结构，他从感觉材料以及逻辑材料（logical data）出发，来构造各种各样我们认为存在的心理实体和物理实体。罗素达到的是不是真正的终极结构，这还是一个需要论辩才能回答的问题。在这个问题上，罗素的处境很不明朗。罗素引入感觉材料，所利用的是直观；并没有逻辑的理由迫使我们一定要引入感觉材料。因此，感觉材料看起来只是一个假设。另一方面，罗素所分析的各类科学也不会提供帮助，因为科学只负责提出和检验科学假说，而不能证明任何假说的终极地位——但是，还原式分析所需要的恰恰是确立一种假说的终极地位。

阐明式分析则是过程性的。它不假定终点，而只是在现存知识的基础上，进行一定程度的拓展。这种拓展实际上包含了上升和下降、或者分析和综合两个过程。当把当初认为的实体视为摹状词，来通过构造主义分析确定其逻辑结构时，这是向更加基本的层次上升，是通过“拆解”实体，来获得更“小”的实体。这种分析是否正确，则是通过反向的过程来判断的，这种反向的过程就是下降，就是用那些“更小”的实体“复原”被分析的实体。这个综合的过程，也就是从分析所得到的假说出发，看能否推论出我们就被分析的实体已经掌握的那些结论。这两个过程有些像科学研究活动中提出假说和验证假说的过程。就像科学家的工作一样，这项工作是试探性的和累积性的。它没有事先设定好的路线，而只是在前人工作的基础上一步一步地推进。与科学工作不同，这种分析不是以知识增长为目的，而是以概念的澄清为目的；当然，这种概念上的澄清，也会导致知识的推进。我们可以在罗素对数学基础的逻辑研究、在马赫对力学基础的研究中，找到这种分析的典型例证。

6. 逻辑原子论
对构造主义分析以后得到的最终局面进行逻辑上的刻画，就是逻辑原子论（logical atomism）。罗素实际上是从维特根斯坦的《逻辑哲学论》中获得这个理论的，但罗素所表述的内容却不能说就是维特根斯坦本人的。应当说，这是一个罗素（错误地）以为是属于维特根斯坦的理论。但罗素试图消化和吸收这个理论，我们所能读到的罗素关于这个理论的阐述中，就表现了他为此而付出的努力。这些阐述有很多不稳定的东西，罗素本人也坦率地承认这种不稳定性。
按照摹状词理论对句子进行分析以后得到的句子，就表现了原来句子的逻辑形式，这种形式就是罗素式命题的结构。假定在分析以后，所有词项都与实在建立了对应关系：常项指称存在的对象，变元则在存在的对象中取值。在这种情况下，我们就可以说得到了构造主义分析的终极状态。在这种状态中，句子“透明地”表现了实在的结构，下面看看这是一幅怎样的图景。
首先可以确定的是，实在中所有东西都是确定的，因此，实在的状况最终应当可以用只包含常项的句子来描述。含有约束变元的句子要在这些句子的基础之上才能表现实在。因此，仅含有常项的句子是最基本的句子。
此外，在只包含常项的句子中，如果还含有包括否定在内的逻辑联结词，那么其真值条件是由那些彼此连接在一起的子句的真值条件所决定的，通过这些子句就可以确定这类句子的真值。这样，就表现实在而言，不含联结词的句子就更加基本一些。这样一些既不含联结词，又不含变元的句子，就被称为“原子句（atomic sentence）”，它们所表达的命题就是原子命题。
逻辑原子论的基本思想是，a）所有原子句间在真值上彼此独立，b）所有其他句子都是原子句的真值函项，也就是说，所有其他句子的真值都取决于原子句的真值。
之所以有a），是因为原子句的真值条件仅仅是由实在之物构成的，因此其真值仅仅取决于实在，而不取决于其他原子句。如果一个句子的真值取决于另外一些句子，那么它就不是原子句，而是由另外那些句子通过逻辑联结词构成的。
当然，这是基于构造主义分析的基本理念得出的结果，它假定这种分析已经完成了。因此，如果遇到原子句在真值上彼此不独立的情况，那么对此可以作出的解释就是，那些句子并不是原子句。比如维特根斯坦考虑过的情况，“这块色斑整个是红色的”与“这块色斑整个是绿色的”就是如此（参见《逻辑哲学论》）。由于这两个句子不能同时为真，就不能认为它们是原子句。
之所以有b），是因为原子句构成了描述实在的基础，其他句子的真值条件都是由原子句的真值条件决定的，并且，原子句间在真值条件上彼此独立，这样，非原子句总是可以分析成原子句的组合，并且这种组合关系可以通过真值表来加以刻画。而这意味着，这种组合关系可以用逻辑联结词来表示。
关于这一点也有一些反例。比如，像“张三以为金正恩是金正日的儿子”这个句子，它在形式上看包含了“金正恩是金正日的儿子”这个句子，因此看起来应当不是原子句。但我们很难说它是后面这个句子的真值函项，因为不管后面这个句子是真还是假，它都可以是真的或假的。但是，要把这个句子看作是其他原子句的真值函项，似乎又是不大可能的。
罗素实际上并没有真正接受上述两个结论（它们倒是在《逻辑哲学论》中得到了明确的坚持），而是按照自己的想法来对原子论做了修改。修改后的想法表现了罗素本人所接受的逻辑观点。这种修改中最为重要的，是为含有约束变元的句子给出的解释。含有约束变元的句子都可以改写成全称句子，因此其所表达的是普遍命题（universal proposition）；与此相对照，不含变元的句子所表达的，都是单称命题（singular proposition）。
如果按照b），含有约束变元的句子应当可以分析成原子句的真值函项，但罗素发现这一点是做不到的。比如，形如
1）对于所有x，x是F。
的句子，就不能分析成这种形式
2）a是F，并且b是F，并且c是F。
即使x的取值范围中只含有三个对象，即a、b、c。这是因为我们必须在2）后面添加上这样一个子句“并且对于所有x，x都不是a、b、c以外的对象”，而这不是一个原子句。这说明我们无法把含有变元的句子从描述实在的句子中排除出去，而只留下原子句。
实在中肯定有使得原子句为真的事实，这样的事实就被称为“原子事实（atomic fact）”。如果描述实在的句子中除了原子句，还包含表达普遍命题的句子，那么实在中至少应当包含使得普遍命题为真的事实。这样的事实不是原子事实，而要被归于普遍事实。
在罗素那里，普遍性是通过命题函项来表现的。把命题中作为常项的单称词项（当命题得到足够充分的分析之后，单称词项总是指称对象）系统地代以变元，即以同一变元取代同一常项，就得到了命题函项。命题函项表现了一类命题所共有的结构，因此，如果把命题函项中的变元进行全称量化，所得到的句子就陈述了这类命题在结构上的特征。这样的特征就构成了一种普遍事实。比如，“对所有的x，如果x是鲸鱼，那么x是哺乳动物”，这个全称句是命题函项“如果x是鲸鱼，那么x是哺乳动物”运用全称量化的结果，而作为普遍事实，它表明这个命题函项总是真的，或者说，对于约束变元的所有取值来说都是真的。
命题函项的推广形式就是命题模式（matrix）。如果不仅仅是把句子中的单称词项代以变元，而且也把其他所有非逻辑常项（即除了真值函项符号、量词符号等在逻辑系统中定义的常项）都系统地代以变元，我们就得到命题模式。逻辑命题就是由那些总是为真的命题模式构成的。例如“p→(p→q)”就是这样的命题模式，其中的“p”与“q”都是用来替换整个常项句子的变元，我们称其为“命题变元”。把表达命题的任何句子代入这两个变元，都总是得到真命题，在这个意义上，把这个命题模式进行全称量化，就得到了逻辑命题。
由此可以看出，逻辑命题就是那些具有最高普遍性的句子。按照罗素的实在论立场，非逻辑常项是因为指称实在中的成分而具有意义的，因此，一般的普遍命题在真值上还取决于实在中的要素；而逻辑命题则由于完全不受实在中的要素制约，而只是表现纯粹属于命题的结构。逻辑命题就表现了关于命题结构的普遍事实。
至此，我们得到了一幅罗素心目中的逻辑原子论图景。这幅图景表明了，构造主义分析之后，最终留下来的句子有哪些。最终的句子包含原子句以及普遍句。罗素式的逻辑原子论是在彻底的原子论（我们在维特根斯坦的《逻辑哲学论》中能够看到这种彻底的原子论）的基础上折衷的结果，这种折衷就体现在，罗素认为，虽然普遍句的真值条件依赖于原子句，但它们不能分析成原子句的真值函项。
最终，可以从罗素这里得到关于逻辑与知识的一般看法。所有待分析的句子，其真值条件都是由来自于两个方面的要素决定的：一方面是原子句所表现的来自于实在的要素，实在中的要素通过非逻辑常项的指称引入，而原子句的真值仅仅取决于这些要素；另一方面则是来自于命题结构的要素，这种要素的极限情形是由逻辑命题所表现的结构特性，这种特性不属于实在，而属于逻辑，并作为逻辑事实起作用。前一类要素是通过亲知的方式进入知识的。由于罗素用感觉材料来解释亲知知识，原子句所表达的知识，就是通过经验获得的。后一类要素可以说构成的知识的另外一种来源，这就是逻辑来源。我们可以说这里有一种逻辑知识，它并不来自于经验，而是取决于我们理解句子的方式，或者说，取决于命题本身的结构。这是一类先天的知识。

虽然逻辑的要素不属于实在，但却是把来自于实在的要素组合到一起的那种结构，通过这种结构，我们在原子句的基础上得到通常用来表达知识的那类句子。就这类句子描述了实在而言，我们可以说逻辑所表现的是实在的基本结构。这种结构本身不属于实在，但在某种意义上决定了我们所知道的实在是怎样的。因此，逻辑就起着把实在粘合到一起的胶水的那种作用，而针对各种知识所作出的哲学分析，就是研究这种胶水是如何起作用的。而实在本身对于我们知识的贡献则在于，提供可供粘合的材料，这些材料就是原子句所陈述的那种离散的、原子式的内容。

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[1] 含有描述成分，并且不特定地指称单个对象的词语，就被称为“非限定摹状词（indefinite description）”。比如“一个人”、“太阳系的某颗行星”就是非限定摹状词，而“所有人”与“有些人”则不是。非限定摹状词、限定摹状词以及专名，这些都是指称单个对象的词语，因而被称为“单称词项（singular term）”。
[2] 按照芝诺的这个悖论来讨论的“无穷”通常是一种高阶无穷，而下面要解释的那种无穷则不是高阶的。但我们这里暂时忽略这里的区别。高阶无穷是以接下来要解释的那种无穷为基础的。

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