​万雄飞——巧用对称和正难则反的思想方法再解全国一卷第19题第3问

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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巧用对称和正难则反的思想方法再解

全国一卷第19题第3问

河南省长垣县第一中学    万雄飞提供解法思路

湖北省阳新县高级中学    邹生书编辑整理

19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1/2．

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率．

解：（3）由题设“经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1/2”知，第一场甲与乙的比赛中两人势均力敌获胜的概率相等，不妨设甲在第一场比赛中获胜。下面我们以“甲在第一场比赛中获胜”为条件来思考问题。则在接下来的比赛中，甲与丙地位平等对称，他们最终获胜的概率相等，设为P₁．另设甲在第一场比赛中获胜的条件下，乙最终获胜的概率为P₂．则P₁ =0.5（1-P₂）.

下面我们来求乙最终获胜的概率P₂．

甲在第一场比赛中获胜的条件下，乙最终获胜。根据比赛规则，在接下来的比赛中，因为乙已经负了一场，不能再负，甲丙各负两场，才能使乙最终获胜，故还需要进行四场比赛，共五场比赛。由于乙在第二场轮空，说明乙参加的后面三场应该连胜，所以P₂=（1/2）³=1/8,

于是P₁ =0.5（1-P₂）=7/16.

 故丙最终获胜的概率是7/16．

下面给出丙最终获胜的一个具体的比赛细节

甲在第一场比赛中获胜的条件下，乙最终获胜。根据比赛规则，第二场甲丙比赛，乙轮空，不妨设甲胜。第三场，甲乙比赛，因为乙已经负了一场，不能再负，所以甲负。第四场，乙丙比赛，因为乙已经负了一场，不能再负，所以丙负，此时，甲已经负两场淘汰。第五场所，最后一场，甲乙比赛，因为乙已经负了一场，不能再负，所以甲负。此时，甲已经负两场淘汰，乙最终获胜。还要进行四场比赛，且甲、丙要各负两场，而乙第二场轮空，说明乙参加的后面三场应该连胜，所以P₂=（1/2）³=1/8,

于是P₂ =0.5（1-P₁）=7/16.

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