刘耀忠——隐藏的二项分布

Original 刘耀忠邹生书数学 2022-08-05

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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隐藏的二项分布

刘耀忠汕头潮阳实验学校高中部

我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验。

我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。可以用摸球问题把n重伯努利试验具体化，规定摸球只包含两个可能结果（摸到或没有摸到）。

情形1：1人有放回地摸球n次（球个数无限多，不区分放回与不放回）；

情形2：n人在相同条件下每人摸球一次。

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为:

在一个具体问题中,如何识别随机变量是二项分布呢？

我们可以从三个角度进行判断：

角度1:看每次试验是否只包含两个可能结果，是不是符合伯努利试验；

角度2:看随机变量是否取整数；

角度3:看能不能转化成“n人在相同条件下每人摸球一次”或“一人在相同条件下摸球n次”问题。

下面我们结合几道典型例题分析挖掘问题中隐藏的二项分布。

【例1】（2018年全国1卷理）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

⑴ 记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p₀；

⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p₀作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【分析】“现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p₀作为p的值”表明可以用p₀=0.1对200件估计，每件产品只包含两个可能结果（合格或不合格）符合伯努利试验，设余下产品中不合格品数量为随机变量Y，Y取整数，可以把问题描述成摸球问题“180个人每人在相同条件下每个摸球一次”，所以随机变量Y服从二项分布。

（ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费400元，若余下的不检验则要490元，所以应该对余下的产品作检验.

【例2】（2011全国大纲卷理）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立.

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.

【解析】记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种；

D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.

(1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,

P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8,

【分析】每位车主购买甲、乙两种保险只包含两个可能结果（购买或不购买）符合伯努利试验，表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数，X取整数，可以把问题描述成摸球问题“100个人每人在相同条件下每个摸球一次”，所以随机变量X服从二项分布。

【例3】十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋办拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年以入也逐年增加。为了制定提升农民年收入，力争实现2020年脱贫攻坚计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入，并制成如下频率分布直方图。

【分析】每个农民的年收入只包含两个可能结果（年收入不少于千元和年收入少于千元）符合伯努利试验，X记1000个农民的年收入不少于千元的人数，X取整数，可以把问题描述成摸球问题“1000个人每人在相同条件下每个摸球一次”，所以随机变量X服从二项分布。

二项分布的应用非常广泛。例如，生产过程中的质量控制和抽样方案，都是以二项分布为基础的；参加某保险人群中发生保险事故的人数，试制药品治愈某种疾病的人数，感染某种病毒的家禽数等，都可以用二项分布来描述。挖掘隐藏的二次分布，利用二项分布的性质处理问题是一个热点问题。

【作者简介】刘耀忠，湖北黄冈市人，现就职广东潮阳实验学校。在《中学生数理化》《新高考》《中学数学研究》等杂志发表文章30余篇，主编教辅资料两本。

刘耀忠老师往期文章链接：

37.刘耀忠——“端点值效应”与”伪端点值效应”

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