​邹生书——2022年全国新高考II卷数学22题的命题套路与解法研讨

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2022年全国新高考II卷数学22题的

命题套路与解法研讨

湖北省阳新县高级中学      邹生书

【点评】函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.本解法对含参数不等式的参数a取值1/2，这个1/2是参数a的最大值即临界值，这是一个难点和关键点，后面的换元和赋值都是一连串的神操作。本解法的特点是运用第2问的结果进行求解，猜测这就是本题的命题特点，这种命题套路在2012年以前全国各省市高考题频频亮相。这个想法很自然，难点是如何利用？如何沟通函数不等式与数列不等式？这个思路就象是请君入瓮，问题是很难请进去，也象是在耍猴子，引猴子钻圈，就是入不了这个圈套。还有，如果第2问求不出参数的取值范围，那么利用第2问的结果就成空话，也就是说这个解法，如果没有第2问的结果当台阶，就无法解决后面第3问。真是自古华山一条道。难难难！！！

那么，是否可以越过第2问这个拦路虎，直接解答第3问呢？对于本题而言是可以的。第3问我们可以将这数列不等式当作是两个数列的前n项和不等式，在此基础上寻找不等式成立的充分条件，将其转化为两个数列的通项不等式，再进一步转化函数不等式，然后用导数工具证明函数不等式，从而使问题得以解决。

思路2：根据数列求和寻找通项不等式，另辟蹊径方法多

  方法3：运用对均不等式可以“秒杀”

参考文献：

邹生书。2010年湖北卷（理）21题（Ⅲ）【J】,中学数学月刊, 2010（8）

原文如下：

2010年湖北卷（理）21题（Ⅲ）

  此文发表于《中学数学月刊》 2010（8）

   2010年高考湖北卷理科第21题：

    本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想。其中第三问证明不等式是本题的也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分大等特点。其中第三问公布的参考答案如下：

    参考答案所提供的两种解法都用到了第二问的结论，这个不难想到，问题是怎样用第二问的结论，也就是怎样实现所证的数列不等式与第二问中已证的函不等式间的沟通。参考答案中为什么要令a=1/2，又为什么要令x=(k+1)/k，这又是怎么想到的？这真是本题难点之所在，这也就是所要考查的分析问题和解决问题的能力。下面笔者来为大家解读这些“为什么”和“怎么想到的”。交另辟蹊径，给出两个创新解法与读者朋友交流分享。

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