贞元数学 | 多位数乘一位数课堂实录
The following article is from 贞元数理人文 Author 宋亚男
编者按：
本周日（8月11日）晚20:00，宋亚男老师会在线上讲《如何培养孩子的数学思维——代数篇》（下篇），在上一期的讲座中，宋亚男老师讲了贞元是如何教加减法，这次会为大家讲贞元怎么教乘除法。这几天我们会推送三篇贞元乘除法的教学实录。
下面是宋亚男老师为三年级上半学期的孩子们上的乘法课堂实录。
宋亚男老师
教学目标
A级：能自由探索多种途径解决两位数乘一位数的乘法运算。
B级：1.通过沟通多种途径相互之间的关系，深入理解两位数乘一位数的“算理”； 2.聚焦理解两位数乘一位数竖式计算程序的合理性。
C级：将两位数乘一位数观念纳入算术运算结构，了解两位数乘一位数观念的未来发展方向。
第一板块：自我挑战，遭遇问题
课前挑战单：
1. 请解释12×4的含义，并尝试用多种方法计算出它们的结果。同时结合本题制作一个数字树。
2. 请解释14×6=？的含义，并尝试用多种方法计算出它们的结果。同时结合本题制作一个数字树。
3. 请举出一个你认为非常有挑战性的“两位数乘一位数”的问题，并尝试多种方法解答。
4. 请提出你感兴趣的新问题。
分析：学生可以通过多种方法计算出两位数乘一位数的结果，但不能清晰的解释每种方法之间的关系。部分学生发明创造了“乘法竖式”，本节课的重点是在此基础上沟通每种方法之间的关系，进而创造发明乘法竖式。
第二板块：聚焦问题，展开对话
师：12×4表示什么含义？
生：12个4相加，或4个12相加。
生：12的4倍，或4的12倍。
师：请为12×4编一个故事。
生：有4个盒子，每个盒子里有12颗棋子，一共有几颗棋子？
生：有4盒巧克力，每盒有12颗巧克力，一共有几颗巧克力？
师：有位学生是这样计算12×4的结果的，你认同吗？
生：认同，因为12×4表示4个12相加。
生：其实也可以表示12个4相加。
生：两种方法都可以，但是第二种方法计算有点麻烦。
师：这两种方法有关系吗？
生：有关系，因为12×4表示12的4倍或4的12倍，4的12倍用12+12+12+12表示，12的4倍用4+4+4+......+4表示。
师：为什么12×4有12的4倍或4的12倍这两种含义呢？
生：可以用矩阵图解释，12×4表示12的4倍，也就是一行有12颗棋子，有这样的4行。同样，这幅图也可以竖着看，一列有4颗棋子，有这样的12列，所以12×4也可以表示4的12倍。
师：有位学生是这样计算12×4的结果的，他是怎么想的，你认同吗？
生：认同，这种方法与刚刚的连加算式一样（12+12+12+12=48），从起点0开始向右跳了4步，每步表示1个12，也就是一共跳了4个12。
师：对的，这两种方法确实一样，只是用跳数轴的方式把连加算式更直观的表示了出来。还有不同的跳数轴方法吗？
生：也可以从起点0开始向右跳12步，每步表示1个4。
师：这种计算方法又是怎么想的？你认同吗？
生：认同，12×4表示12个4，把12个4拆分成了8个4加4个4。
生：认同，因为4的8倍加上4的4倍等于4的12倍。
师：这种拆分方法你认同吗？
生：认同，因为4的15倍减去4的3倍，等于4的12倍。
生：不认同，虽然4的12倍可以表示成4的15倍减去4的3倍，但是越变越难了，我们无法快速得到15×4的结果。
师：分步乘的目的是什么？
生：因为12×4无法直接口算出结果，我们可以把它转换成已经会背的乘法口诀来解答。
师：对的，分步乘的目的是把无法直接口答的乘法转换成可以口答的乘法进行计算，但是刚刚把12×4转换成15×4-3×4可行吗？
生：不可行，因为15×4是无法直接口答的。
师：这种分步乘的方法你认同吗？为什么？
生：认同，12×4表示12个4，把12个4拆分成了10个4加2个4。因为12×4无法直接口算出来，我们可以把它转换成已经会的乘法口诀来解答。
师：第一种分步乘的方法与第三种分步乘的方法有什么区别？
生：第三种分步乘是按位值进行拆分的，把12拆分成10和2。
师：这种分步乘的方法与前边连加和跳数轴方法有什么关系吗？
生：有关系，前面的连加和跳数轴方法都可以把12×4理解成4的12倍，这里的分步乘也是把12×4理解成4的12倍。
师：可以通过矩阵图解释这几种方法之间的关系吗？
生：连加（12+12+12+12）表示一行有12个，有这样的4行，同样竖着看表示一列有4个，有这样的12列。10×4+2×4表示一列有4个，有这样的10列，再加上这样的2列，最后仍然是这幅图。
师：解释的太棒了，每种方法最终都可以与这幅矩阵图对应起来。有人是这样计算12×4的结果的，他是如何想的呢？你认同吗？
生：他应该是先计算2×4=8，然后再计算10×4=40，最后计算8+40=48。
生：12个4先计算了2个4是8，再计算10个4是40，最后8+40=48。
师：哦，看到这个竖式后，你想到了前边哪一种方法？
生：按位值拆分的分步乘方法其实与这个竖式计算想法是一样的。
师：这两种方法有什么联系？
生：都是把12×4看成12个4，把12个4拆分成10个4加2个4。
师：我有个疑惑，既然前边那么多种方法都可以得到算式的结果，为什么还要学乘法竖式呢？
生：因为乘法竖式简单呀。
师：怎么简单了，它的算理跟分步乘的算理不是一样的吗？
生：可是，竖式书写起来更简洁呀。
师：哦，这个理由我同意，竖式只是把分步乘用更简洁的程序表示了出来。那既然竖式要求简洁，这个竖式能不能更简洁一点呢？有位学生这样写的竖式，他又是如何想的？你认同吗？
生：认同，“8”是2×4得到的，“4”是1×4得到的。
生：不对，“4”在十位上表示4个十，应该是10×4得到的。
师：对的，先计算2×4=8，“8”写在个位上，这个过程与刚刚的竖式过程一样，接下来，再计算10×4=40，“40”除了像刚刚竖式那样直接用40表示，还能更简洁吗？
生：直接写在“8”的前边。
生：写在十位上，表示4个十。
师：这样写合理吗？
生：合理，因为“8”写在个位上表示8个一，“4”写在十位上就可以表示4个十。
师：对的，我们按照位值书写出的竖式好像更简洁，接下来，请完整的叙述如何用竖式计算12×4？
生：先算2×4=8，在个位上写8个一，再计算10×4=40，在十位上写4个十。
（接下里，请所有的学生在挑战单上补充竖式。）
师：14×6表示什么含义？
生：14的6倍或者6的14倍。
师：有位学生这样计算14×6，你认同吗？
生：认同，14×6用矩阵图表示，一行有14个，有这样的6行，可以用加法算式14+14+14+14+14+14=84表示。竖着看，一列有6个，有这样的14列，可以用加法算式6+6+6+......+6=84表示。
师：这种方法呢？你认同吗？
生：认同，是按照位值进行拆分的分步乘，把6的14倍拆分成6的10倍加6的4倍。
师：有位学生是这样计算的，你认同吗？
生：认同，先计算4×6=24，再计算10×6=60，最后计算24+60=84。
生：这个竖式不够简洁，也可以这样表示。
生：不对，答案与刚刚不一样。应该是84。
师：“64”中的4是如何得到的。
生：4×6=24，个位上写4。
师：“24”中的4个一写在了个位，那十位上的2个十如何表示呢？（学生没有想到更简洁的表示2个十的办法。）
师：我们想一想加法竖式，比如13+9，先算个位上的3个一加9个一，等于12个一，12个一是如何表示的。
生：哦，我明白了，2个一写在个位上，个位“满十进一”，进到十位上1个十。
生：乘法中也可以这样，4个一写在个位上，2个十进到十位上。
师：接着如何计算？
生：10×6=60，60+20=80。
师：对的，这样表示好像更简洁一点。接下来请每位学生尝试用竖式计算这道题，并把计算过程写出来。
第三板块：基于共识，拓展延伸
师：有位学生举了一道非常有挑战性的“两位数乘一位数”的问题，他为什么会认为这道题非常有挑战性呢？（只出示题目，不出示计算过程。）
生：因为数字比较大，计算会麻烦一点。
生：数字越大，越可能出错。
生：因为这道题需要进位，而且需要两次进位。
师：接下来，请你们尝试多种方法解答这道题。
师：昨天，还有学生提问了这样一个感兴趣的新问题，你能帮他解答吗？
生：当然可以，比如101×9=909。
师：感兴趣的学生课下可以挑战一道“三位数×一位数”的问题，并尝试用多种方法解答，包括竖式。
编者按：
关于乘除法教学更详细的介绍解读，请留意本周日（8月11日）20:00宋亚男老师的第二期数学线上讲座。还没加入我们公益讲座群的，请扫下面贞元虞姐姐的微信，让她邀你进入公益讲座群。
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公益讲座：
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