内心训练题18-伪内切圆性质

题目不难, 尝试一下反演的观点

这道题目本身是伪内切圆的一个性质, 这里给出简洁的纯几何证法的同时, 也尝试一下反演的观点下, 本题的视角是否有所改变.

题目标签: 角等类- 伪内切圆+切点-伪内切圆的性质

知识储备: 位似 (法二需反演)

题目难度: 高联1-2

题目如下:

外接圆为, 圆与, 相切与内切于点, 直线在内, 与平行且与相切与点,

求证: .

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先给出几何证法:

证法一:

连接, , 与交于, , .

延长, , 与交于, , .

则两圆关于点P位似,

因此有,

故, 为弧与弧的中点,

, 为弧与弧中点,

故, (误, 前为弧所对角)故,

结合, 弦切角相等,

得到, 故证毕!

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证法二: (尝试一下反演)

以为基圆圆心, 为基圆半径进行反演,

则,

, ,

: 与, , 分别相切,

故为的旁切圆

: 为与的切点

现在对比两图, 结合,

延长与交于,

则为旁切圆与底边交点,

故, 故与等角共轭.

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