初一数学《线段、射线、直线》知识点精讲
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知识点总结
一．直线、射线、线段三者的区别与联系：
二．线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点。
三．直线的基本性质：
1．两条直线相交，只有一个交点；
2．经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线。
四．线段的性质：
所有连结两点的线中，线段最短，即：两点之间线段最短。
常见考法
（1）确定直线、线段的个数；
（2）求线段的长度。
误区提醒
求线段长度时考虑不周而漏解。
【典型例题】（2010广西柳州）如图，点A、B、C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解析】有三条线段，分别是线段AB,BC,AC,故本题选C。
专题精析
一、概念全解
1、基本事实1：两点之间，线段最短．
2、距离定义：两点之间线段的长度叫做两点之间的距离
3、线段的两种表示方法：
(1)用两个端点的大写字母：线段AB(线段BA)
(2)用一个小写字母：线段a
4、射线表示方法：
用两个大写字母，端点在前：射线AB(A为端点)
5、同一射线的两同：同端点，同方向
6、直线的两种表示方法：
(1)用两个大写字母：直线AB(直线BA)
(2)用一个小写字母：直线l
7、线段、射线、直线的联系与区别：
8、基本事实2： 两点确定一条直线．
9、平面上，过1点可以画无数条直线，过任意3点可以画1或3条直线．
10、平面上有n个点，
直线上有n个点，
11、点与直线的位置关系：
(1)点在直线上(2)点在直线外
12、线段的长短比较方法：度量法、叠合法、尺规作图法
13、线段的和差
14、线段的中点书写：
二、典例剖析
例：判断正误：
(1)直线AB和直线BA是同一条直线．
(2)射线AB和射线BA是同一条射线．
(3)线段AB和线段BA是同一条线段．
(4)画直线AB＝3cm．
(5)画射线CD＝2cm．
(6)延长射线PQ到点R．
(7)延长线段MN到点P．
(8)经过A、B、C三点可以画三条直线．
(9)连接两点的线段叫做两点的距离．
(10)AB＝BC，则点B是线段AC的中点．
(11)过两点有且只有一条线段．
(12)已知线段AB＝3cm，线段BC＝2cm，则A，C两点的距离为5cm．
解析：
(1)正确，直线的两个大写字母顺序可以交换．
(2)错误，同一射线需满足同端点，这里的两个端点分别是A、B．
(3)正确，线段的两个大写字母顺序可以交换．
(4)错误，直线长度不可度量．
(5)错误，射线长度不可度量．
(6)错误，射线只可以反向延长．
(7)正确，线段两端均可延长．
(8)错误，若A、B、C三点在同一直线上，则只能画一条直线．
(9)错误，连接两点的线段的长度叫做两点的距离．
(10)错误，必须强调，点B在线段AC上，否则会出现如下的反例：
(11)错误，过两点有且只有一条直线，否则会出现如下的反例：
过BC的线段有AD，AE两条
(B、C不作为线段端点的情况下)
(12)错误，点C可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上，也可能在线段AB外，反例如下：
根据三角形三边关系，可得AC的长度范围，1cm≤AC≤5cm．
三、思维提升
1、比例线段求值
例1：
如图，延长线段AB到点C，使BC＝2AB，D是AB的中点，点E、F在BC上，且BE：EF：FC＝1：2：5，AC＝36，求DE和DF的长．
分析：
本题中，已知3条线段长度的比例关系，我们可以马上设x表示3线段的长度，从而可求3线段和的BC的长度，再根据BC与AB的数量关系，表示出AB的长度，建立关于x的方程，从而可求其余线段．
解答：
设BE＝x，EF＝2x，FC＝5x，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝8x，
∵BC＝2AB，∴AB＝4x，
∵D为AB中点，∴DB＝2x，
AC＝AB＋BC＝12x＝36，∴x＝3．
∴DF＝DB＋BE＋EF＝5x＝15．
DE＝DB＋BE＝3x＝9．
变式：
如图，已知AC＝200，BC＝3AB，且BM：MN＝2：3，MN：NC＝2：5，求BN的长．
分析：
本题与例1如出一辙，我们可以设x表示AB，BC的长，建立方程求解，再将BM，MN，NC的连比求出，继续设未知数表示从而求解．
解答：
2、多解问题
例2：
分析：
本题中，点C的位置是确定的，但点D的位置不确定，它在直线AB上，可能在线段AB上，也可能在延长线上，因此，可以有2解．
解答：
变式：
已知线段AB＝10，M为AB的中点，在AB所在直线上有一点P，N为AP的中点，若MN＝1.5，求AP的长．
分析：
本题也与例2类似，M点的位置确定，但N点的位置不定，可能在点M左侧，也可能在点M右侧，因此，本题也有2解，为了让同学们自己思考，笔者就不画图，只给出过程了．
解答：
3、双中点问题
例3：
已知线段AB＝8，点M为直线AB上除AB外任意一点，点C是AM的中点，点D是BM的中点，求线段CD的长．
分析：
这是典型的双中点问题，点M的位置不确定，可以在线段AB上，也可以在线段AB的延长线上，也可以在线段BA的延长线上，但是，无论怎样，答案都是不变的！
线段CD的长，必定看作其它线段长的和或差，这里教给大家一个诀窍，点C是AM的中点，点D是BM的中点，这里的点M出现了两次，那么CD的长必然为CM和DM的和或差，不信我们来看解答过程．
解答：
线段、射线、直线的概念及表示
概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：
（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.
（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．
要点诠释：
（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．
（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.
（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.
（4）线段、射线、直线都没有粗细．
表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.
要点诠释：
（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取的是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
3.线段、射线、直线的区别与联系
线段 | 射线 | 直线 | |
图示 | |||
表示方法 | 线段AB或线段a | 射线OA或射线a | 直线AB或直线a |
端点 | 两个 | 一个 | 无 |
长度 | 可度量 | 不可度量 | 不可度量 |
延伸性 | 不向两方延伸 | 向一方无限延伸 | 向两方无限延伸 |
练习题
下列说法中，正确的是( ) .
A．射线OA与射线AO是同一条射线.
B．线段AB与线段BA是同一条线段.
C．过一点只能画一条直线.
D．三条直线两两相交，必有三个交点.
【答案】B
【解析】射线OA的端点是O，射线AO的端点是A，所以射线OA与射线AO不是同一条射线，故A错误；过一点能画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确．
【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时，与字母的前后顺序无关，但射线必须是表示端点的字母写在前面，不能互换．
举一反三：
【变式1】以下说法中正确的是 （ ）.
A．延长线段AB到C B．延长射线AB
C．直线AB的端点之一是A D．延长射线OA到C
【答案】A
基本事实
直线：过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
要点诠释：
（1）点和直线的位置关系有两种：
①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O；
②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P.
（2）两条不同直线相交：当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.
2.线段：两点之间的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
要点诠释：
（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．
（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.
如图，A、B、C、D为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，可画出 条直线.
【思路点拨】根据两点确定一条直线即可计算出直线的条数．
【答案】6条直线
【解析】由两点确定一条直线知，点A与B,C,D三点各确定一条直线，同理点B与C、D各确定一条直线，C与D确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6（条）.
【总结升华】平面上有个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：
举一反三：
【变式1】如图所示，已知线段AB上有三个定点C、D、E．
(1)图中共有几条线段？
(2)如果在线段CD上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？
【答案】
解：(1)线段的条数：4＋3＋2＋1＝10(条)；
(2)如果在线段CD上增加一点P，则P与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5条线段.
（注解：若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1＋2；若再增加一点，则又增加了3条线段，此时线段总条数为1＋2＋3；…；当线段AB上增加到n个点(即增加n－2个点)时，线段的总条数为1＋2＋……＋(n－1)＝n(n－1) .）
【变式2】如图直线m上有4个点A、B、C、D，则图中共有________条射线．
【答案】8
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