虞涛:数学概念的结构、功能及其教学策略

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       文卫星，上海市特级教师。践行“生态课堂”，做到“两尊重”----即尊重知识的发生、发展规律，尊重学生的认知规律；把握“两个度”----思想（哲学或数学）高度和文化厚度。

在《数学教育学报》《数学通报》《中学数学教学参考》等近50家报刊杂志发表论文或文章约330多篇。

     专著（代表作）：《超越逻辑的数学教学----数学教学中的德育》（2009）、《文卫星数学课赏析》（2012）、《挑战高考压轴题高中数学精讲解读篇》（1-10版，2009-2019）、《上海高考好题赏析》（2019）。

近年为北京、上海、天津、江苏、浙江、福建、广东、贵州、河南、河北、四川、云南、新疆、宁夏、安徽、山西、重庆等地师生讲学。

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虞涛上海市建平中学首席教师，上海市正高级教师，上海市特级教师，上海市“双名工程”攻关计划虞涛数学基地主持人，上海市浦东新区虞涛数学教师培训基地主持人，华东师范大学教师教育学院特聘专家，上海市高考命题库专家、上海市浦东新区教师高级培训师、浦东新区数学教育专业委员会常务理事。主持《智能化数学诊断系统的实验》等多项市、区级重点课题，出版专著《数学思想方法的人文解读》等六部，主编《点石成金》等系列丛书，至今在《中学数学》等报刊发表论文三百余篇。

1关于数学概念及其地位作用 

数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，是人们通过实践，从数学所研究的事物对象的许多属性中，抽象出其本质属性概括而成的。

数学教学中就是通过广泛使用概念这种思维形来解释各种数学对象的本质特征，从而使人类凭借数学概念，从数量关系与空间形式的角度来全面认识客观事物，深入了解事物的内部联系。数学概念学习是数学学习的基础，脱离开数学概念便无法进行数学思维。数学概念是进行数学推理和证明的基础和依据。数学中的推理和证明实质上由一连串的概念、判断和原理组成，而数学中的原理又都是由一些概念构成的。

2关于数学概念的结构化主张 

近年来，章建跃等学者提出不少有关数学概念教学的主张，要把注重习题大量操练转变到“花大气力进行概念教学”，从静态的识记走向“动态的建构”，从单纯的概念教学走向“结构化的概念教学”，从单一概念教学走向“大概念教学”，从不论概念的主次到重视“核心概念教学”。事实上，这是以结构化主张，即用联系性、整体性和发展性观念看待数学概念的教学设计。由于概念在中学数学知识中的作用和地位，数学概念教学需要进行概念的结构化分析、理解和设计。它是我们认识数学、理解数学和教好数学的关键。

3关于数学概念的结构化分析

系统论认为，结构是指系统内部各要素之间的相互联系和相互作用的一种形式，标志着人的认识已经从感性认识上升为理性认识。由于数学是一门结构性很强的学科，也可以这样说，数学概念反映了事物包括数量关系、空间形式在内的结构关系的本质属性。把数学对象与其关联对象放在一起分析，明确它在整个知识经验结构中的地位和表达，不仅有助于对数学对象自身的深入理解，更有助于认知结构的重新组织。

1.概念组成的逻辑结构。概念包括内涵和外延两个基本方面。概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和，即概念所反映的对象的质的方面；概念的外延是概念所反映的对象的总和，即概念所包括的对象的数量，或所指对象的范围。每个概念都是这两个方面的统一：第一，对象或关系的集合，就是这个概念的外延；第二，这个集合中所有对象所固有的并且只有这个集合才具备的特征性质，就是这个概念的内涵。两个方面的统一结合，明确了概念外延所属的每一个对象必定具有概念的全部本质属性；反之，凡具有概念的本质属性的对象必定在其外延集合中，就确定了一个概念，并使不同概念之间界限分明，不容易混淆。

2.概念判断的逻辑方法。概念的逻辑系统包括概念的限制与概括。概念的限制与概括是明确概念之间关系的一种逻辑方法，其依据为内涵与外延的反变关系。概念的限制是通过增加概念的内涵，从而缩小概念的外延的逻辑方法。它是由外延较大的概念过渡到外延较小的概念的思维过程。概念的概括是通过减少概念的内涵，以扩大概念的外延的逻辑方法。它是由外延较小的概念过渡到外延较大的概念的思维过程。从某种意义上说，数学概念的逻辑系统，就是概念的限制和概括的反映。把握住概念的限制和概括，有利于认识数学概念的体系，有助于掌握概念之间的内在联系，便于更好地使概念系统化。

3.概念认知的逻辑关系。任何一个概念不是孤立存在的，它有着众多相关联的知识点，都存在于一定的体系之中，并与其他有关概念有着区别与联系。根据各个部分之间的关系，如同一关系、从属关系、矛盾关系、对立关系等逻辑关系。把各个部分联系起来，形成一个层次分明、类别清楚和联系紧密的概念结构体系，使得数学概念系统化和公理化。在体系下把握概念，即把概念放在指定的知识结构下来认知。数学概念系统是一个关联的系统。掌握了概念间的逻辑关系有助于加深理解概念，正确地使用概念，避免出现概念或判断上的逻辑错误。

4.概念发展的必然规律。随着事物的发展变化和人类实践的不断深入，概念的内涵和外延也会不断地发展变化。在研究概念的内涵和外延变化时，我们既要看到概念的确定性：在事物发展的一定阶段上，概念的内涵和外延是确定的；同时，又要看到概念的灵活性：随着客观事物的发展和变化，概念的内涵和外延也会相应地变化。只有把概念的确定性和灵活性辩证地统一起来，才能正确地把握概念，正确地认识客观事物。

5.概念理解的有力工具。学习概念，不只是知道概念的名称、记住概念的定义。还要用例子、表征和变式等多种方式来认识概念的意义和把握概念的本质属性。可以通过典型丰富的具体例证，对属性的分析、比较、综合概括共同本质特征得到概念的本质属性，用准确的数学语言描述概念，以正例为载体分析关键词的含义，以反例对概念进行辨析，用概念判断具体事例，用概念作判断的具体步骤，建立与相关概念的联系。

6.概念表现出的二重性。多位学者已经指出，许多抽象的数学概念从操作的角度看可以看成一个过程，从结构的角度看又可以看成一个结果。既表现为一种动态的算法、操作过程，又表现为一种静态的结构、对象，这就是数学概念的二重性。概念的获得有先后次序，即先过程后对象的认知顺序，并且概念的过程和对象这两个侧面有着紧密的依赖关系。形成一个概念，往往要经历从过程开始，然后转化为对象的认知过程。对部分学生来说，从一个过程性的概念到一个对象性的概念的过程可能是一个漫长而又艰巨的历程。当充分建成后都在数学活动中起着重要的作用。教师在这个过程中起着重要的角色。

7.概念教学的基本思路。章建跃博士提出：深刻理解数学内容的本质，为学生构建研究一个数学对象的“基本套路”，设计系列数学活动，让学生经历“事实一概念一性质（关系）一结构（联系）一应用”的完整过程，使学生完成“事实一方法一方法论一数学学科本质观”的超越，是“教好数学”的本义，也是落实核心素养的关键。

小结对概念的结构化分析如图。概念是对客观世界（最外层）同一类事物的反映，揭示出这一类事物的共同属性组成概念的内涵（最内层），所反映的这一类事物的全体组成概念的外延（从里到外第二层），对概念教学的结构（第三层）分析包括了解概念的名称、定义，分析概念的属性、要素，用例子、表征、变式等理解概念。概念的基本功能（第四层）包括描述、判断、推理、作图、操作、分类、划分、范畴和性质等。在掌握概念及其概念系统的基础上，数学知识、思想和方法成为分析和处理客观事物（最外层）的有力工具。

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关于数学概念的功能

（1）用概念作事物的描述。一般概念是抓住了客观世界中一类事物的共同属性，而数学概念更突出从数和形来描述事物的特征。如对太阳、满月等事物形状的感觉、知觉，人们初步形成了关于圆的观念，通过制造圆形器皿等生产实践，逐步认识了圆的本质属性，最后形成了圆的概念。用定义描述为：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。也可以描述为：在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。

（2）用概念说明事物属性。概念的内涵就是概念所反映的这类事物的共同本质属性，既确定的含义。概念的属性是一个特定概念的所有实例共同具备的普遍特点，概念的属性是判定一个具体量是否属于此概念的必要条件。如“函数概念”的内涵就是指函数这类对象的本质属性：一个变量到另一个变量的单值对应关系，而解析式、函数图像或表达式只是它的表现形式。

（3）用概念确定研究范畴。在概念的概括过程中，即从一般性较小的概念转到一般性较大的概念的过程中，逐步以性质不同的对象来扩大所考察的对象的范围，最后将会达到外延最大而不能再继续加以概括的概念。这个最后的概念，叫做范畴。如“运动”、“静止”、“内容”、“形式”等等，都是一种范畴。范畴已经完全脱离了具体的对象，因而它所可以适用的对象，就达到了最广的范围（任何对象都有运动与静止、内容与形式等）。数学上的基本概念也属于范畴。如“点”、“线”、“面”、“空间”、“数量”、“集合”、“元素”、“对应”等等。如从“自然数”到“正整数”到“有理数”到“实数”到“复数”到“数”，这就体现着一个概括的过程。在中学数学中，对“数”的学习和研究的范畴为“复数”。

（4）用概念源头进行分类。概念是反映事物本质属性的思维形式。所谓“本质属性”，就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的特征性质。它构成某种事物的基本特征，只为这类事物所具有，是一种事物区别于另一种事物的根本依据。诚然，数学概念分类有多种方法和结果。我们可以直接由数学概念来源进行分类。对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象，或者在已有数学理论上的逻辑建构。前一类概念称为原生性概念，如三角形、角、平行、相似、垂直等；后一类概念称为内生性概念，如方程、函数、向量数量积等。

（5）用概念作对象的划分。划分就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，也就是将一个属概念划分为若干种概念。如果说下定义是明确概念的内涵的逻辑方法，那么划分是明确概念外延的逻辑方法。通过划分，一方面可使有关概念的知识系统化、完整化；另一方面对该概念外延认识更为清晰和深刻。划分因作为根据的属性不同，其结果也有所不同。如以曲线是否封闭将圆锥曲线划分为圆和椭圆一类封闭曲线以及双曲线和抛物线另一类非封闭曲线；以是否存在对称中心将圆锥曲线划分为圆、椭圆和双曲线一类有心圆锥曲线和抛物线另一类无心圆锥曲线；以是否存在渐近线把圆、椭圆和抛物线看成一类曲线，而双曲线看成另一类曲线。

（6）用概念作判断的依据。用概念作判断可以突出表现在概念与命题之间的逻辑结构。利用概念可以识别和判断一些具有一定干扰性、隐蔽性的命题，还可以作推理判断的依据。如为了帮助学生准确把握椭圆的内涵，可以让学生讨论：当平面内一动点P到两定点的距离之和为2、4或6，则P点的轨迹是否为椭圆。结果可能是椭圆、两条射线、线段或不存在。不仅有效加深了学生对椭圆的概念中“”这一条件的理解，还获得一般性结论。

（7）用概念进行演绎推理。由于演绎推理的正确性，所以数学中的定理、公式等的严格证明经常采用这种推理形式。又由于演绎推理的三段论式结构清晰，易于被人们所理解，使人信服，所以在数学教学中时常采取这种推理形式。如大前提为“复数的绝对值是非负数”。小前提为“虚数是复数”。结论为“所有虚数的绝对值是非负数”。由上例可知，在三个判断中有且仅有三个不同的概念。中学数学中三段论式的大前提、小前提有时并不写出来。如上面的例子常写成“因为虚数是复数，所以虚数的绝对值是非负数”，甚至只写“虚数的绝对值是非负数”。

（8）用概念制定操作步骤。可以将概念算法化，即要将陈述性的概念定义转化为程序性的算法化知识，形成用概念作判断的操作步骤。如求一个函数的反函数三个步骤，即反表示、互换变量、确定定义域事实上是通过函数的定义来逐步确定的。

5关于数学概念的教学目标

数学教学的主要任务是概念的学习、理解和运用，突出概念在数学学习中的作用，有计划、有重点、有层次进行数学概念教学目标的设置，是课堂教学设计中重要的一环。

（1）以发展学科素养为主导。概念是理性思维的基本形式，概念的学习要让学生养成“不断回到概，念中去，从基本概念出发思考问题解决问题”的习惯，注重发展学生的理性思维和科学精神。理性思维和科学精神是数学学科核心素养的灵魂，数学教学聚焦点应放在理性思维和科学精神发展上。

（2）以核心概念为教学主体。核心概念是指在数学概念体系中处于中心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系的概念，如函数、坐标、曲线的方程、极限等。课堂教学都围绕一个中心论题展开和深化，精心组织相关的数学内容，使相应的核心概念或重要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到有序的展开。

（3）以概念逻辑为教学主线。以概念产生发展的历程为知识的内在逻辑，兼顾学生的认知规律确定概念学习的教学主线。通过逻辑线索来连接知识点，每一个数学知识点都可以通过线索和多个知识点相互联系。

（4）以串联概念为教学主题。要把单一概念进行串联，把分散的知识概念组成结构化的大观念、大主题、大任务、大项目的问题解决学习策略。

（5）以概念推理判断为主调。引导学生在判断、推理和证明中运用概念，在日常生活或生产实践中运用概念，在运用过程中加深对概念的理解。

（6）以概念整体框架为主貌。每一个课时和单元的数学学习的内容本身具有一定的整体性和系统性。教学时，不能仅仅局限于概念的讲解，在讲解概念之前或最后进行小结时展示一个概念框架，让学生看出概念的大略全貌，有着整体想法。

（7）以学科思想方法为主旨。数学概念和其他数学知识一样，是中学数学的表层知识，而数学思想、方法是数学的深层知识。深层知识蕴含于表层知识中，是表层知识的本质，是分析、处理和解决数学问题的策略和基本方法。要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学。苏联学者M.M.弗利德曼指出：“在学校课程中数学的思想和方法应当占有中心的地位，占有把教学大纲中所有的，为数很多的概念，所有的题目和章节联结成一个统一的学科的核心地位。”因此，数学概念教学的主要目标之一是使学生通过概念的掌握和运用，最终理解和掌握数学思想方法。只有当学生在数学思想、方法的高度上掌握数学概念、数学知识时，才能较好地形成数学能力，受益终生。

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关于理解概念的教学工具

由于概念本来是由实例抽象，由例子表征出来的。例子和表征是说明和理解概念的最好工具。

1.例子

数学概念是一类数学对象的本质特征的反映。因此，数学概念离不开具有相同本质特征的一类对象，而这些对象便是我们教学概念时使用的例子。不同的例子在概念教学中起着独特而重要的作用。

（1）用丰富例子引出概念。基本的、核心概念的引入需要通过有丰富的、不同类型的例子进行归纳和概括出定义。如通过概念形成的方式来学习“等差数列”这个概念，先来观察几个数列：（1）1，2，3，4，5，6；（2）0，0.3，0.6，0.9，1.2，1.5，…；（3）5，3，1，-1，-3，…；（4）3，3，3，3，3，…。可以发现，这几个数列给出的部分项都具有一个共同的特点，把它作为等差数列的本质属性，就可以抽象概括出等差数列的定义。

（2）用特别例子完善概念。数学概念教学中，引导学生对从各种具体例子归纳和概括出粗略的定义，还需要运用特别的例子对定义进一步完善和精细化处理。如在棱柱的概念形成中，学生往往描述为“有二个平面是平行的全等多边形，其他表面都是平行四边形”，此时最有说服力的做法就是给出一个实际模型的反例。

（3）用典型例子明确概念。原型例子可以充分揭示概念的本质特征，恰当地建立概念的正确的典型的表象。还要能用最少的“样例”说明该概念外延的各个方面。如学习棱柱时对棱柱着重研究斜三棱柱、直四棱柱等，进一步研究平行六面体、正四棱柱、长方体等。

（4）用有效反例辨析概念。数学教材一般都是从正面阐述概念，这容易使学生形成思维定式，妨碍对概念的深刻理解。在学生对概念有一定理解后，运用反例促使学生的概念理解更精确、准确，而且可以排除无关特征的干扰。如判断各个表面均是等腰三角形的棱锥是否为正三棱锥；判断有两个侧面是矩形的棱柱是否为直棱柱。

（5）用变式例子巩固概念。变式例子可以改变学生的原型思维模式，弱化例子的个性特征，突出概念的本质属性，从而对概念理解更为清晰和透彻。如提起“三角函数”，我们头脑中可能立即浮现正弦函数、余弦函数、正切函数等的具体解析式或其图像，联想起三角函数的周期性特征。

2.表征

在数学概念学习的过程中，用学习者自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解称为概念的表征。概念多元表征可以促进学生的多角度理解有益于知识的获得、保持和应用，而且对发展学生的概括能力有特殊意义。数学概念往往有多种表征方式。

（1）样例表征。概念和样例常常是相伴相随的。提起某一概念，头脑中的第一反应往往是它的一个“样例”，这表明例在概念学习和保持中的重要性。样例表征指学习者通过各种样例来逐渐归纳出事物的定义特征。如学生通过各种各样棱锥的样例，发现“棱锥”在大小、形状和位置等方面虽然有所不同，但所有的棱锥都是由多边形所围成的几何体，其中有一个面是多边形，其余各个面是具有公共顶点的三角形。

（2）名称表征。数学概念的名称具有能够被接受的相对统一的意义，利用名称可以对数学对象作出简约的、概括的、分类的反应。数学概念的名称都有一定的来源，即使概念的名称并不一定反映出数学对象的本质属性，但分析名称的由来可以帮助理解概念。如果学生只是记住概念的名称，而没有掌握该名称所代表的数学对象的本质特征，就可能错误地应用数学概念。如函数、正弦函数、余弦函数、正切函数、共轭双曲线、共轭复数等概念背后的数学史都可以教学中理解概念的有效素材。

（3）符号表征。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用。它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化。它与数学概念反映的对象、数学概念的本质属性不一定具有因果关系，而是一种心理上的联想关系，即由数学符号想到数学概念所反映的对象和数学概念的本质属性。因此，数学符号的学习，不仅应当能够识记，更重要的是在特定的情境中准确地加以联想。如表示函数对自变量的导数。如表示函数的反函数。

（4）模型表征。抽象的概念是通过抽取并用语言来巩固事物的类似的、共同的本质特征而获得的。概念的直观表征有助于形成鲜明而准确的知觉和表象的形象，它能减轻学生从感知具体事物转向理解抽象概念过程中的负担。为了有效地运用直观性，应当对直观教学方法加以选择，考虑哪种直观形式最有效，它应起到什么样的作用。如学习球面距离时使用地球仪；研究圆锥曲线来历时使用圆锥模型。

（5）图形表征。许多数学概念还需要用图表、图像或图形来表示。借助概念的直观背景，对抽象概念进行直观化表征，可提高概念教学的有效性。如研究集合运算关系时使用文氏图，研究函数使用函数图像或列表。有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念具有几何意义，如函数的定积分表示曲边梯形的面积。

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✎ 参考文献 

[1]  章建跃.章建跃数学教育随想录[M]，浙江：浙江教育出版社，2017（6）

[2]  赵振威.中学数学教材教法[M]，上海：华东师范大学出版社，2000（6）

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