高等代数，第四版，第五章P235，T17

数学兴趣大讲堂

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Singmaster 猜想

    在杨辉三角中，数字 1 出现了无穷多次。除了数字 1 以外，哪个数字出现的次数最多呢？6 出现了 3 次，不过不算多。10 出现了 4 次，不过也不算多。120 出现了 6 次，算多了吧？还不算多。目前已知的出现次数最多的数是 3003 ，它同时等于 C(3003, 1) 、 C(78, 2) 、 C(15, 5) 、 C(14, 6) ，在杨辉三角中出现了 8 次。有没有出现次数更多的数，目前仍然是一个未解之谜。

    真正精彩的来了。如果把正整数 a 在杨辉三角中出现的次数记作 N(a) ，那么函数 N(a) 是什么级别上涨的呢？1971 年，David Singmaster 证明了 N(a) = O(log a) ，即 N(a) 最多是对数级别上涨的。他同时猜想 N(a) = O(1) ，即 N(a) 有一个上限。这也就是 Singmaster 猜想。由于我们一直没能找到出现次数超过 8 次的数，因而这个上界很可能就是 8 。不过， Singmaster 猜测这个上界更可能是 10 或者 12 。

    Erdős 认为，Singmaster 的猜想很可能是正确的，但证明起来会非常困难。目前最好的结果是，N(a) = O((log a · log log log a) / (log log a)3) 。

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第四章A组答案：1  |  2  |  3  |  4  |  5  |  6  |  7  |  8  |  9  |  10  |  11  |  12  |  13  |  14  |  15  |  16  |   17  |  18  |  19  |  20  |  21  |  22  |  23  |  24  |  25  |  26  |  27  |  28  |  29  |  30  

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