【中考专题】2019中考数学：规律探索型问题（一）

Mathic Young 老杨和数学的故事 2022-07-17

规律探索型问题，也称之为归纳猜想问题，或也叫观察、归纳与猜想题。

此类题型最大特点：问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出一列数、一列等式或一列图形的一部分.

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，确定需要求的结论.

在进行归纳推理与猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．规律探索型问题是各地中考经常出现的一类考题。

一、数式规律

【典型例题】

例1. （2018年淄博中考）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是　　．

【分析】这是探索数字规律问题。解决的方法是：观察相邻数字之间的数量关系，找出共同特征，找出前几个数与自身序号的关系，然后猜想归纳写出关系式并进行验证。

【解答】第n行第一个数式n²∴第45行第一个数是2025，

∴第45行、第8列的数是2025－7＝2018.

例2：

【同步训练】

1.阅读下列材料：

，

由以上三个等式相加，可得

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）（写出过程）；

（2）= ；

（3）= ．

二、图形规律

例2. 如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A₁B₁C₁的顶点A₁与点P重合，第二个△A₂B₂C₂的顶点A₂是B₁C₁与PQ的交点，…，最后一个△A_nB_nC_n的顶点B_n、C_n在圆上．

（1）如图1，当n＝1时，求正三角形的边长a₁

（2）如图2，当n＝2时，求正三角形的边长a₂

（3）如题图，求正三角形的边长a_n（用含n的代数式表示）．

【分析】因所有正三角形都关于直径PQ对称，构建垂径定理即B_nC_n始终被直径PQ垂直平分，连接OB_n构造直角三角形运用勾股定理列成方程便可求解a_n

【解答】（1）在图２中，PQ与B₁C₁交于点D，连结OB₁，则，在中，

，即，解得．

（2）在图３中，设与交于点E，连结，则，

在中，即，解得

例3. 课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题．

实验与论证

设旋转角∠A₁A₀B₁=α（α< A₁A₀A₂）， θ₃，θ₄，θ₅，θ₆，所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示角的度数：θ₃=___________θ₄=_____________θ₅=____________

（2）图1－图4中，连接A₀H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；

归纳与猜想

设正n边形A₀A₁A₂…A_n_－₁与正n边形A₀B₁B₂…B_n_－₁重合（其中，A₁与B₁重合），现将正n边形A₀B₁B₂…B_n_－₁绕顶点A₀逆时针旋转α（）．

（3）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A₀H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）要求θ的度数，应从旋转中有关角度的变与不变上突破；（2）结合图形比较容易得到被A₀H垂直平分的线段，在证明时要充分利用背景中正多边形及旋转中的角度；（3）要探究θ_n的度数，要注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与求解度数的表达式；（4）要探究正n边形中被A₀H垂直平分的线段，只要观察图形的对称性就可以找到解题的途径．也应注意区分正偶数边形及正奇数边形两种情形去思考与突破；

【解答】（1）．

（2）答案不唯一，选图１，图１中有直线A₀H垂直平分A₂B₁．

证明：∵△A₀A₁A₂与△A₀B₁B₂是全等的等边三角形，∴A₀A₂=A₀B₁，

∴∠A₀ A₂ B₁=∠A₀B₁ A₂，∴A₂H=B₁H，∴点H在线段A₂B₁的垂直平分线上，所以直线A₀H垂直平分A₂B₁．

（3）当为奇数时，θ_n= - α，当为偶数时，θ_n= α．

（4）存在，当n为奇数时，直线A₀H垂直平分．

当n为偶数时，直线A₀H垂直平分．

．

【同步训练】

2. 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为．

3.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB₁C₁的位置，点B、O分别落在点B₁、C₁处，点B₁在x轴上，再将△AB₁C₁绕点B₁顺时针旋转到△A₁B₁C₂的位置，点C₂在x轴上，将△A₁B₁C₂绕点C₂顺时针旋转到△A₂B₂C₂的位置，点A₂在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0,2），则点B₂₀₁₈的坐标是 .

4. 如图，在直角坐标系中，已知点M₀的坐标为（1，0），将线段OM₀绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₁，使得M₁M₀⊥OM₀，得到线段OM₁；又将线段OM₁绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M₂，使得M₂M₁⊥OM₁，得到线段OM₂，如此下去，得到线段OM₃，OM₄，…，OM_n.