【中考专题】2019中考数学：规律探索型问题（二）

Mathic Young 老杨和数学的故事 2022-07-17

规律探索型问题，也称之为归纳猜想问题，或也叫观察、归纳与猜想题。

此类题型最大特点：问题的结论或条件不直接给出，而常常是给出一列数、一列等式或一列图形的一部分.

其解题思维过程是：从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论，确定需要求的结论.

在进行归纳推理与猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律．规律探索型问题是各地中考经常出现的一类考题。

前面已更新：
2019年中考数学专题：规律探索型问题（一）数式规律、图形规律
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2019年中考数学专题：规律探索型问题（二）

三、图形变换规律

例4. 如图，正方形ABCD的四个顶点在坐标轴上，A点坐标为(3，0)，假设有甲、乙两个物体分别由点A同时出发，沿正方形ABCD的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动，物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体12秒钟可环绕一周回到A点，乙物体24秒钟可环绕一周回到A点，则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是．

【分析】本题考查了规律型中动点的坐标，由甲、乙两物体单独环绕一周的时间即可算出两物体每两次相遇间的间隔时间，根据2018×8=24×672+16即可得出两个物体运动后的第2018次相遇地点为乙物体第16秒运动到的位置，结合图形找出乙物体第16秒运动到点的坐标即可得出结论．

【解答】甲、乙两物体两次相遇间隔为1÷（+）=8（秒），

∵2018×8=24×672+16，

∴两个物体运动后的第2018次相遇地点为乙物体第16秒运动到的位置．

∵乙物体第2秒运动到点（-2，-1），乙物体第4秒运动到点（-1，-2），乙物体第6秒运动到点（0，-3），……，乙物体第16秒运动到点（1， 2），

∴两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是（1， 2）．

故答案为：（1，2）．

【同步训练】

1.（2018年潍坊中考）如图，点A₁的坐标为（2，0），过点A₁作x轴的垂线交直线l：y=x于点B₁，以原点O为圆心，OB₁的长为半径画弧交x轴正半轴于点A₂；再过点A₂作x轴的垂线交直线l于点B₂，以原点O为圆心，以OB₂的长为半径画弧交x轴正半轴于点A₃；…．按此作法进行下去，则的长是．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A₁的坐标为（1，2），以点O为圆心，以OA₁长为半径画弧，交直线y=x于点B₁．过B₁点作B₁A₂∥y轴，交直线y=2x于点A₂，以O为圆心，以OA₂长为半径画弧，交直线y=x于点B₂；过点B₂作B₂A₃∥y轴，交直线y=2x于点A₃，以点O为圆心，以OA₃长为半径画弧，交直线y=x于点B₃；过B₃点作B₃A₄∥y轴，交直线y=2x于点A₄，以点O为圆心，以OA₄长为半径画弧，交直线y=x于点B₄，…按照如此规律进行下去，点B₂₀₁₈的坐标为．

3.如图，直线l₁:y=kx+b平行于直线y=x-1，且与直线l₂:y=mx+相交于点P(-1,0)．

（1）求直线l₁、l₂的解析式；

（2）直线l₁与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₁处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₁处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l₂上的点B₂处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l₁上的点A₂处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……

照此规律运动，动点C依次经过点B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…

① 求点B₁，B₂，A₁， A₂，的坐标；

② 请你通过归纳得出点A_n、B_n的坐标；并求当动点C到达A_n处时，运动的总路径的长．

本期同步训练参考答案见下期

上期规律探索型问题（一）同步训练参考答案

【中考专题】2019中考数学：规律探索型问题（一）

1、阅读下列材料：

，

由以上三个等式相加，可得

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）（写出过程）；

（2）= ；

（3）= ．

解析：在所给的一系列等式中，既要观察横向的变化规律，也要观察纵向的变化规律：等式左边的第一列数比第二列数小１，等式右边的第一列数为常量，括号内的列数也依次递增１。

（1）1´2+2´3+3´4+…+10´11

=（1´2´3-0´1´2）+（2´3´4-1´2´3）+…+（10´11´12-9´10´11）

=（10´11´12）=440

（2） n(n+1)(n+2）

（3）

=(1´2´3´4-0´1´2´3)+ (2´3´4´5-1´2´3´4)+…+(7´8´9´10-6´7´8´9)=1260

2. 如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形；把正方形边长按原法延长一倍得到正方形（如图（2））；以此下去，则正方形的面积为．

解析：已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，

△AA₁D₁的面积=×2AB×AB=AB²=1，

新正方形A₁B₁C₁D₁的面积是4×1+1=5，

从而正方形A₂B₂C₂D₂的面积为5×5=5²=25，

以此进行下去…，

则正方形A_nB_nC_nD_n的面积为5ⁿ．

3.如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0,2），则点B2018的坐标是 .

解析：

∵AO=，BO=2

∴AB=AB1=5/2（二分之五）

∴OA+AB1+B1C2=6，∴B2的横坐标为：6，且B2C2=2，

∴B4的横坐标为：2×6=12，

∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6=6054．

∴点B2018的纵坐标为：2．

∴点B2018的坐标为：（6054，2）

4. 如图，在直角坐标系中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM0绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M1，使得M1M0⊥OM0，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O沿逆时针方向旋转45°，再将其延长到M2，使得M2M1⊥OM1，得到线段OM2，如此下去，得到线段OM3，OM4，…，OMn.

（1）写出点M5的坐标；

（2）求△M5OM6的周长；

（3）我们规定：把点Mn（xn，yn）（n=0，1，2，3…）的横坐标xn，纵坐标yn都取绝对值后得到的新坐标（|xn|，|yn|）称之为点Mn的“绝对坐标”，根据图中点Mn的分布规律，请你猜想点Mn的“绝对坐标”，并写出来.

（1）M₅（―4，―4）

（2）由规律可知，,，∴的周长是

（3）由题意知，旋转8次之后回到轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或轴或轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点的“绝对坐标”可分三类情况：

令旋转次数为

①当点M在x轴上时: M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂）,…，